Extrema mit Nebenbedingungen: Aufgaben mit Lösungen

Bei diesen Aufgaben darf nur auf einer Kurve gesucht werden. Die Bedingung ∇f = λ∇g und die Nebenbedingung g = 0 ergeben zusammen die Kandidaten. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt. Extremwertaufgaben mit einer Variablen übst du auf dem Blatt Extremwertaufgaben.

Das brauchst du

• Ansatz: g so umformen, dass die Nebenbedingung g(x, y) = 0 lautet. Dann ∇f = λ∇g und g = 0 aufstellen.
• Elimination: Aus den beiden Gradientengleichungen λ eliminieren, am besten durch Gleichsetzen oder Teilen. Danach die Nebenbedingung einsetzen.
• Lineare Funktion auf dem Kreis: Der Gradient (a, b) hat die Länge n. Auf dem Kreis mit Radius R ist der größte Wert R · n, der kleinste −R · n.
• Produkt bei fester Summe: Bei ax + by = c ist das Maximum von xy gleich c²/(4ab), erreicht bei x = c/(2a) und y = c/(2b).
• Schattenpreis: Der Multiplikator λ ist die Änderungsrate des Optimalwerts, wenn die rechte Seite der Nebenbedingung um 1 wächst.

Alles steht auf der Seite Extrema mit Nebenbedingungen bei der Idee von Lagrange, den durchgerechneten Beispielen und dem Schattenpreis.