Rechner · Klasse 11 bis Studium
Integralrechner: Stammfunktion, Integral und Fläche
Der Integralrechner findet Stammfunktionen mit Potenzregel, Substitution, partieller Integration und Partialbrüchen und prüft jedes Ergebnis durch Ableiten. Mit Grenzen berechnet er das bestimmte Integral und die Fläche zwischen Graph und x-Achse, auch wenn der Graph die Achse schneidet.
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So benutzt du den Integralrechner
Gib die Funktion ein, die du integrieren möchtest. Ohne Grenzen erhältst du die Stammfunktion F(x) + C. Trägst du eine untere und eine obere Grenze ein, berechnet der Rechner zusätzlich das bestimmte Integral, die Fläche zwischen Graph und x-Achse und den Mittelwert der Funktion im Intervall. Die Fläche wird im Graphen eingefärbt.
Stammfunktion und Integrationsregeln
Eine Stammfunktion F von f ist eine Funktion, deren Ableitung f ergibt. Integrieren ist also Ableiten rückwärts. Weil Konstanten beim Ableiten wegfallen, gibt es zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante C unterscheiden.
| Funktion f(x) | Stammfunktion F(x) |
|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ : (n + 1) |
| 1 : x | ln |x| |
| eˣ | eˣ |
| sin x | −cos x |
| cos x | sin x |
| f(ax + b) | F(ax + b) : a |
Für Produkte wie x · eˣ nutzt der Rechner die partielle Integration, für Ausdrücke wie x · ex² die Substitution und für Brüche aus Polynomen die Partialbruchzerlegung. Jede gefundene Stammfunktion wird zur Probe wieder abgeleitet. Nicht jede Funktion hat eine Stammfunktion, die sich mit bekannten Funktionen hinschreiben lässt. Ein berühmtes Beispiel ist e−x², die Glockenkurve. Dann rechnet der Rechner das bestimmte Integral numerisch mit der Simpsonregel.
Der Hauptsatz und die Fläche
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet beides: Das bestimmte Integral von a bis b ist die Differenz der Stammfunktion an den Grenzen.
Das Integral zählt Flächen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb negativ. Für die echte Fläche zerlegt der Rechner das Intervall an den Nullstellen und addiert die Beträge der Teilintegrale.
Archimedes berechnete schon um 250 v. Chr. die Fläche unter einer Parabel mit einer Art Grenzwertverfahren. Mehr dazu auf der Lernseite Integralrechnung.
Häufige Fragen
Warum steht bei der Stammfunktion „+ C“?
Weil jede Konstante beim Ableiten wegfällt. x² + 5 und x² − 3 haben beide die Ableitung 2x. Beim bestimmten Integral hebt sich C wieder auf, denn es fällt bei F(b) − F(a) heraus.
Was ist ein uneigentliches Integral?
Eines mit einer unendlichen Grenze oder einer Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist, etwa 1/x zwischen −1 und 1. Solche Integrale berechnet man mit Grenzwerten. Der Rechner weist auf sie hin, berechnet sie aber nicht.
Warum ist mein Integral negativ?
Weil der Graph im Intervall ganz oder teilweise unterhalb der x-Achse verläuft. Wenn nach der Fläche gefragt ist, musst du an den Nullstellen aufteilen und die Beträge addieren. Das zeigt dir der Rechner Schritt für Schritt.
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