Arbeitsblatt · Klasse 5–10

Begründen und Widerlegen: Arbeitsblatt mit Lösungen

Stimmt das immer? Du prüfst Behauptungen, findest Gegenbeispiele, begründest mit Skizze und mit Rechnung und bewertest Argumente. Die Aufgaben reichen von „wahr oder falsch“ bis zum eigenen kleinen Beweis.

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Erklärung: Argumentieren und Begründen

Für die Lehrkraft: Steckbrief

  • Klassenstufe: 5 bis 10 (Teil A ab Klasse 5, Teil B ab Klasse 7, Teil C ab Klasse 9)
  • Zeitbedarf: 45 bis 90 Minuten, je nach Aufgabenauswahl
  • Lernziele: Behauptungen prüfen und mit einem passenden Gegenbeispiel widerlegen, Satz und Umkehrung unterscheiden, Begründungen mit Plättchen, Skizze und Rechnung aufschreiben, Argumente nach Reichweite und Schlüssigkeit bewerten, einen Fehler in einer Begründung finden.
  • Bezug zu den Bildungsstandards: mathematisch argumentieren, außerdem kommunizieren. Jede Aufgabe trägt ihren Anforderungsbereich (AFB), der Schwerpunkt liegt im Bereich II.
  • Material: dieses Blatt, Stift und Lineal, für Teil A nach Wunsch Plättchen. Ein Taschenrechner ist nicht nötig.
  • Bezug zur Lernseite: Argumentieren und Begründen, formale Beweise bei den Beweisverfahren

Ablaufvorschlag

  1. Einstieg (5 Minuten): Sie nennen die Behauptung „Multiplizieren macht immer größer“ und lassen die Klasse Beispiele und Gegenbeispiele sammeln.
  2. Teil A (15 Minuten), danach gemeinsam besprechen, was ein gutes Gegenbeispiel ausmacht.
  3. Teil B (20 bis 25 Minuten), Aufgabe 7 als Gruppenarbeit mit Zeichnung.
  4. Teil C als Vertiefung oder Hausaufgabe. Aufgabe 12 eignet sich für ein Gespräch in der Klasse.

Teil A: Wahr oder falsch?

Aufgabe: Prüfe, begründe und schreibe vollständige Sätze.

  1. Entscheide für jede Aussage, ob sie immer stimmt. Nenne bei falschen Aussagen ein Gegenbeispiel. (a) Jede Zahl, die auf 0 endet, ist durch 5 teilbar. (b) Jede Primzahl ist ungerade. (c) Das Doppelte einer Zahl ist größer als die Zahl. (d) Wenn man eine Zahl mit 10 multipliziert, hängt man eine Null an. AFB I
  2. Setze die Wörter „weil“, „also“, „wenn“, „dann“ und „denn“ so ein, dass sinnvolle Begründungen entstehen. (a) 18 ist durch 6 teilbar, 18 = 6 · 3 gilt. (b) eine Zahl durch 6 teilbar ist, ist sie auch durch 3 teilbar. (c) 6 = 2 · 3 und 12 = 6 · 2, ist 12 durch 3 teilbar. (d) Das gilt nicht immer, 9 ist durch 3, aber nicht durch 6 teilbar. AFB I
  3. Eine Schülerin sagt: „Wenn man zwei Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis größer als jede der beiden Zahlen.“ Prüfe die Aussage für natürliche Zahlen (mit 0 und 1), für Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 und für negative Zahlen. Wo gilt sie, wo nicht? Gib Gegenbeispiele an. AFB II
  4. Bringe die drei Sätze in eine Reihenfolge, so dass eine Begründung für die Behauptung „Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade“ entsteht. (A) Die Summe hat daher keinen Rest und ist gerade. (B) Eine ungerade Zahl lässt sich in Zweierpaare legen, und es bleibt genau ein Plättchen übrig. (C) Legt man zwei ungerade Zahlen zusammen, bleiben zwei einzelne Plättchen übrig, die zusammen ein weiteres Paar bilden. AFB II

Teil B: Gegenbeispiele, Umkehrung und Skizzen

  1. Prüfe die Behauptung „Wenn eine Zahl durch 4 und durch 6 teilbar ist, dann ist sie durch 24 teilbar“. Widerlege sie mit einem Gegenbeispiel. Durch welche Zahl muss eine Zahl teilbar sein, wenn sie durch 4 und durch 6 teilbar ist? AFB II
  2. Formuliere die Umkehrung jeder Aussage und prüfe, ob sie gilt. (a) Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie gerade. (b) Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann hat es vier gleich lange Seiten. (c) Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. (d) Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle seine Winkel 60° groß. AFB II
A B C α β g
Zu Aufgabe 7: Das Dreieck ABC mit den Winkeln α und β. Die Gerade g durch C ist parallel zur Seite AB.
  1. Begründe mit der Zeichnung, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt. Markiere in der Zeichnung am Punkt C die beiden Winkel, die so groß sind wie α und β. Schreibe die Begründung in drei Sätzen auf. AFB II
  2. Eine Schülerin vermutet: „Für jede natürliche Zahl n ab 1 sind 6n − 1 und 6n + 1 Primzahlen.“ Prüfe die Vermutung für n = 1 bis 7 und beurteile sie. Warum genügt es nicht, n = 1, 2 und 3 zu prüfen? AFB II

Teil C: Begründen mit Rechnung

  1. Begründe, dass die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen durch 3 teilbar ist. Untersuche dann, für welche Anzahl k von aufeinanderfolgenden Zahlen die Summe immer durch k teilbar ist. Probiere k = 2, 4, 5 und 6. AFB III
  2. Zeige, dass das Quadrat jeder ungeraden Zahl bei der Division durch 8 den Rest 1 lässt. Prüfe zuerst 3², 5² und 7². Schreibe dann eine ungerade Zahl als 2k + 1 und forme um. Tipp: Das Produkt k · (k + 1) ist gerade. AFB II
  3. Finde den Fehler in diesem „Beweis“ der Behauptung 1 = 2. Sei a = b. Dann ist a² = a · b, also a² − b² = a · b − b². Mit den binomischen Formeln: (a + b) · (a − b) = b · (a − b). Teile durch (a − b): a + b = b. Wegen a = b folgt 2b = b, also 2 = 1. Prüfe die Schritte mit a = b = 1. AFB III
  4. Bewerte die Begründungen dreier Schüler für die Behauptung „Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade“. Ida: „3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16 und 11 + 21 = 32, alles gerade.“ Jonas: „Eine ungerade Zahl besteht aus Zweierpaaren und einem übrigen Plättchen. Zwei übrige Plättchen ergeben ein weiteres Paar.“ Lena: „Ungerade Zahlen sind 2k + 1 und 2m + 1. Die Summe ist 2k + 2m + 2 = 2 · (k + m + 1), also gerade.“ Welche Begründungen beweisen die Behauptung für alle ungeraden Zahlen? Welche ist am überzeugendsten? AFB III
  5. Untersuche das Produkt von vier aufeinanderfolgenden Zahlen plus 1: 1 · 2 · 3 · 4 + 1, 2 · 3 · 4 · 5 + 1 und 3 · 4 · 5 · 6 + 1. Stelle eine Vermutung auf, teste sie an einem weiteren Beispiel und begründe sie mit Termen. Tipp: Die kleinste Zahl heiße n. Multipliziere zuerst n · (n + 3) und (n + 1) · (n + 2). AFB III

Lösungen

  1. (a) Wahr: Eine Zahl, die auf 0 endet, ist durch 10 teilbar, also 10 · k = 5 · (2k). (b) Falsch, Gegenbeispiel: 2. (c) Falsch, Gegenbeispiel: Das Doppelte von 0 ist 0. (d) Falsch, Gegenbeispiel: 2,5 · 10 = 25. Man hängt keine Null an, sondern verschiebt das Komma. Für natürliche Zahlen stimmt die Aussage.
  2. (a) „weil“ oder „denn“. (b) „Wenn“ und „dann“. (c) „also“. (d) „denn“ oder „weil“. Mehrere Lösungen sind möglich, wenn der Satz sinnvoll bleibt.
  3. Natürliche Zahlen: Mit 0 und 1 gilt die Aussage nicht, zum Beispiel 0 · 7 = 0 und 1 · 5 = 5, beide nicht größer als 5. Für zwei Zahlen ab 2 gilt sie, denn a · b ≥ 2b > b und a · b ≥ 2a > a. Dezimalzahlen zwischen 0 und 1: 0,5 · 4 = 2 ist kleiner als 4, und 0,5 · 0,5 = 0,25 ist kleiner als 0,5. Negative Zahlen: (−2) · 3 = −6 ist kleiner als beide Faktoren. (−2) · (−3) = 6 ist zwar größer, aber nicht allgemein. Die Aussage gilt, wenn beide Zahlen größer als 1 sind.
  4. Die richtige Reihenfolge ist B, C, A. Erst wird erklärt, wie eine ungerade Zahl aufgebaut ist (B), dann wird die Summe untersucht (C), am Ende steht die Folgerung (A, erkennbar am Wort „daher“).
  5. Gegenbeispiel: 12 = 4 · 3 und 12 = 6 · 2, aber 12 ist nicht durch 24 teilbar (12 : 24 = 0,5). Richtig ist: Eine Zahl, die durch 4 und durch 6 teilbar ist, ist durch 12 teilbar. Begründung: In ihr stecken mindestens zwei Faktoren 2 (wegen 4) und ein Faktor 3 (wegen 6), also 2 · 2 · 3 = 12.
  6. (a) Umkehrung: Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch 6 teilbar. Falsch, Gegenbeispiel: 4. (b) Umkehrung: Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat, dann ist es ein Quadrat. Falsch, Gegenbeispiel: eine Raute ohne rechten Winkel. (c) Umkehrung: Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet. Falsch: Auch ein Reinigungsfahrzeug macht die Straße nass. (d) Umkehrung: Wenn alle Winkel eines Dreiecks 60° groß sind, dann ist es gleichseitig. Das stimmt, denn gleich große Winkel liegen gleich langen Seiten gegenüber. Hier gelten Satz und Umkehrung, man sagt „genau dann, wenn“.
  7. Die Winkelsumme ist 180°. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: Der Winkel zwischen g und der Seite CA (links von C) ist so groß wie α, und der Winkel zwischen g und CB (rechts von C) ist so groß wie β. An C liegen diese beiden Winkel und der Winkel γ des Dreiecks nebeneinander und füllen den gestreckten Winkel von 180° unterhalb von g aus. Also ist α + β + γ = 180°. (Zahlen der Zeichnung: α ≈ 39°, β ≈ 55°, γ ≈ 86°.)
  8. n = 1: 5 und 7 sind prim. n = 2: 11 und 13. n = 3: 17 und 19. n = 4: 23 ist prim, aber 25 = 5 · 5 nicht. n = 5: 29 und 31. n = 6: 35 = 5 · 7 ist nicht prim. n = 7: 41 und 43. Die Vermutung ist falsch, Gegenbeispiele sind n = 4 und n = 6. Die ersten drei Fälle genügen nicht, weil ein Muster aus wenigen Beispielen nur eine Vermutung ist. Richtig ist die andere Richtung: Jede Primzahl größer als 3 hat die Form 6n − 1 oder 6n + 1, denn sie ist weder durch 2 noch durch 3 teilbar. Aber nicht jede Zahl dieser Form ist eine Primzahl.
  9. Sind n − 1, n und n + 1 die drei Zahlen, ist die Summe 3n, also durch 3 teilbar. Allgemein ist die Summe von k Zahlen ab n gleich k · n + (0 + 1 + … + (k − 1)) = k · n + k · (k − 1) : 2. Der erste Summand ist durch k teilbar. Der zweite ist es genau dann, wenn (k − 1) : 2 eine ganze Zahl ist, also wenn k ungerade ist. Proben: k = 2: 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5 (Rest 1). k = 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, Rest 2. k = 5: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, durch 5 teilbar. k = 6: 21, Rest 3. Die Summe ist also genau für ungerade k immer durch k teilbar.
  10. Proben: 3² = 9 = 8 + 1, 5² = 25 = 24 + 1, 7² = 49 = 48 + 1. Allgemein: (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4 · k · (k + 1) + 1. Von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist eine gerade, also ist k · (k + 1) = 2m mit einer ganzen Zahl m. Dann ist das Quadrat 4 · 2m + 1 = 8m + 1 und lässt den Rest 1.
  11. Der Fehler steckt im Schritt „Teile durch (a − b)“. Wegen a = b ist a − b = 0, und durch 0 darf man nicht teilen. Probe mit a = b = 1: a² = a · b gilt (1 = 1), a² − b² = a · b − b² gilt (0 = 0), (a + b) · (a − b) = b · (a − b) gilt (2 · 0 = 1 · 0). Erst das Teilen durch 0 liefert 2 = 1. Aus 2 · 0 = 1 · 0 folgt nicht 2 = 1.
  12. Ida: Drei Beispiele stützen die Behauptung, beweisen sie aber nicht. Es könnte ein Fall geben, in dem sie nicht gilt. Jonas: Das ist eine anschauliche Begründung, die für alle ungeraden Zahlen gilt, weil sie nur den Aufbau mit Paaren und einem Rest benutzt. Sie ist leicht zu verstehen, aber sprachlich nicht ganz genau. Lena: Das ist ein formaler Beweis mit Termen. Er gilt für alle ungeraden Zahlen, ist kurz und schlüssig, aber abstrakter. Jonas und Lena beweisen die Behauptung. Am überzeugendsten ist Lenas Beweis, wenn man mit Termen sicher umgeht, sonst Jonas’ Begründung. Auch eine andere, gut begründete Rangfolge ist richtig.
  13. Die Werte sind 25 = 5², 121 = 11² und 361 = 19². Vermutung: Das Produkt von vier aufeinanderfolgenden Zahlen plus 1 ist eine Quadratzahl. Test: 4 · 5 · 6 · 7 + 1 = 841 = 29². Begründung: n · (n + 3) = n² + 3n. Nenne das m. Dann ist (n + 1) · (n + 2) = n² + 3n + 2 = m + 2. Das Produkt ist m · (m + 2) = m² + 2m, und mit 1 dazu (m + 1)². Die Quadratzahl ist (n² + 3n + 1)². Für n = 4 ergibt das 16 + 12 + 1 = 29.

Hinweise für die Lehrkraft

  • Typische Schwierigkeiten: Mehrere Beispiele werden als Begründung angesehen. Das Gegenbeispiel erfüllt die Voraussetzung der Behauptung nicht (zum Beispiel eine Dezimalzahl bei einer Aussage über natürliche Zahlen). Satz und Umkehrung werden verwechselt. Bei Zeichnungen wird gemessen statt begründet. Tipp: Lassen Sie jede Begründung laut vorlesen und fragen Sie bei jedem Satz „Warum darf man das?“.
  • Leichter: Aufgaben 1 bis 6 und 7 mit vorgegebenen Wörtern („Wechselwinkel“). Plättchen für Aufgabe 4 bereitlegen.
  • Schwerer: Aufgaben 9 bis 13. Zusätzlich kann die Klasse die Behauptung aus Aufgabe 9 für andere Anzahlen untersuchen oder Aufgabe 13 mit anderen Startzahlen testen. Die Beweisform der vollständigen Induktion steht bei Vollständige Induktion.
  • Quellenlage: Die Aufgaben sind eigene Fassungen bekannter Beispiele. Der „Beweis“ von 1 = 2 mit Division durch Null ist ein Klassiker der Mathematikdidaktik. Dass jede Primzahl über 3 die Form 6n ± 1 hat, folgt, weil sie weder durch 2 noch durch 3 teilbar ist.
  • Weiterführung: Das Gegenbeispiel logisch erklärt der Abschnitt Das Gegenbeispiel, Satz und Umkehrung bei Kontraposition und Umkehrung, Teilbarkeit begründet bei Teilbarkeitsregeln begründen, Winkel an Parallelen bei Winkel an Parallelen.

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