Kugeln, Geraden und Ebenen im Raum: Aufgaben mit Lösungen

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte mit demselben Abstand zu einem Mittelpunkt. Wähle oben eine Aufgabenart. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt.

Das brauchst du

• Kugelgleichung: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r² mit dem Mittelpunkt M(a | b | c) und dem Radius r.
• Allgemeine Form: Ergänze quadratisch, um Mittelpunkt und Radius abzulesen: x² + 6x wird zu (x + 3)² − 9.
• Lage eines Punktes: Berechne den Abstand |MP| und vergleiche ihn mit r. Kleiner heißt innerhalb, gleich heißt auf der Kugel.
• Gerade und Kugel: Setze die Gerade in die Kugelgleichung ein. Die quadratische Gleichung in t hat 0, 1 oder 2 Lösungen, je nach Diskriminante.
• Ebene und Kugel: Mit dem Abstand d des Mittelpunkts von der Ebene ist der Schnittkreis-Radius ρ = √(r² − d²).
• Tangentialebene: Ihr Normalenvektor ist der Vektor vom Mittelpunkt zum Berührpunkt B.

Die Erklärungen stehen bei der Kugelgleichung, der Lage eines Punktes, bei Gerade und Kugel, bei Ebene und Kugel und bei der Tangentialebene.