Gruppentafeln: Aufgaben mit Lösungen

In einer Gruppentafel steht im Kreuzungsfeld von Zeile x und Spalte y das Ergebnis x ∘ y. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt. Die Theorie dazu steht auf der Seite Gruppentheorie.

Das brauchst du

• Lücke: In jeder Zeile und jeder Spalte steht jedes Element genau einmal. Suche das Element, das in der Zeile des Fragezeichens noch fehlt.
• Neutrales Element: Es ist das Element, dessen Zeile gleich der Kopfzeile und dessen Spalte gleich der Kopfspalte ist.
• Inverses Element: Suche in der Zeile von x das neutrale Element e. Die Spalte, in der es steht, nennt das Inverse von x.
• Ordnung: Bilde x, x ∘ x, x ∘ x ∘ x und so weiter, bis das neutrale Element erscheint. Die Zahl der Faktoren ist die Ordnung. Sie teilt die Zahl der Elemente der Gruppe.
• Ist das eine Gruppe? Prüfe der Reihe nach: Stehen alle Einträge in der Menge? Gibt es ein neutrales Element? Hat jedes Element ein Inverses? Die Assoziativität siehst du der Tafel nicht an. Rechne dafür ein paar Tripel nach, ein einziges Gegenbeispiel genügt zum Widerlegen.

Alles steht auf der Seite Gruppentheorie bei den Gruppenaxiomen, im Abschnitt Gruppentafeln lesen und ergänzen und bei den Ordnungen und dem Satz von Lagrange.