Orthogonalität, Gram-Schmidt und Definitheit: Aufgaben mit Lösungen

Hier übst du den Umgang mit dem Skalarprodukt im ℝ³ und mit symmetrischen Matrizen. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt.

Das brauchst du

• Länge: ‖v‖ = √⟨v, v⟩. Gut zu merken sind die Vektoren (1, 2, 2) mit Länge 3, (2, 3, 6) mit Länge 7 und (1, 4, 8) mit Länge 9.
• Orthogonal: ⟨u, w⟩ = 0. Das ergibt bei einer unbekannten Komponente eine lineare Gleichung.
• Projektion: proj_u v = (⟨v, u⟩ / ⟨u, u⟩) · u. Der Rest v − proj steht senkrecht auf u.
• Gram-Schmidt: w₂ = v₂ − (⟨v₂, v₁⟩ / ⟨v₁, v₁⟩) · v₁. Normiert wird erst am Ende.
• Definitheit: Eine symmetrische 2 × 2-Matrix ist genau dann positiv definit, wenn a > 0 und die Determinante > 0 ist (Hauptminoren).
• Eigenwerte: Spur = Summe, Determinante = Produkt der Eigenwerte. Daraus folgt λ² − Spur · λ + Det = 0.

Die Erklärungen stehen auf der Seite Skalarprodukt und Orthogonalität bei Orthogonalität, Projektion, dem Gram-Schmidt-Verfahren und dem Spektralsatz sowie auf der Seite Bilinearformen und Quadriken bei der Definitheit.