Archimedes und π: Arbeitsblatt mit Lösungen

Für die Lehrkraft: Steckbrief

Klassenstufe: 6 bis 9, je nach Aufgabenauswahl
Zeitbedarf: 45 bis 60 Minuten
Lernziele: Kreisumfang und Kreiszahl als Verhältnis Umfang zu Durchmesser, Umfang regelmäßiger Vielecke bestimmen, Näherungen von oben und unten einschließen, Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, den Unterschied zwischen „ist gleich“ und „liegt zwischen“ verstehen.
Material: dieses Blatt, Taschenrechner, Lineal und Zirkel für den Einstieg.
Bezug zur Lernseite: Umfang und Fläche des Kreises, Hintergrund bei Archimedes

Ablaufvorschlag

Einstieg (5 Minuten): Die Klasse misst den Umfang und den Durchmesser einer Münze oder eines Bechers mit einer Schnur und teilt. Es kommt etwa 3 heraus, aber nicht genau.
Geschichte und Skizze (10 Minuten): Text lesen, die Skizze mit Sechsecken und Quadraten ansehen, die Idee „einschließen“ besprechen.
Aufgaben 1 bis 3 (20 Minuten) in Partnerarbeit.
Aufgaben 4 und 5 als Abschluss, Aufgabe 6 als Hausaufgabe oder Kurzreferat.

Wie schließt man die Zahl π ein?

Archimedes lebte vor etwa 2.300 Jahren in Syrakus auf Sizilien. Man wusste damals schon: Teilt man den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser, kommt immer dieselbe Zahl heraus, ob der Kreis klein ist oder groß. Wir nennen sie π. Aber wie groß ist sie genau? Mit einer Schnur lässt sich der Umfang nur ungenau messen.

Archimedes hatte eine klügere Idee: Er schloss den Kreis ein. Er zeichnete ein Vieleck in den Kreis hinein, dessen Ecken auf dem Kreis liegen, und ein zweites Vieleck um den Kreis herum, dessen Seiten den Kreis berühren. Der Umfang des Kreises ist größer als der des inneren Vielecks und kleiner als der des äußeren. Weil sich die Umfänge von Vielecken berechnen lassen, hat man so zwei sichere Grenzen für π.

Er begann mit dem Sechseck und verdoppelte die Eckenzahl immer wieder: 12, 24, 48 und schließlich 96. Mit dem 96-Eck kam er auf die Grenzen 3 10/71 < π < 3 1/7. In Dezimalzahlen sind das etwa 3,1408 und 3,1429. Hier rechnen wir mit einem Kreis mit dem Durchmesser 1. Dann ist sein Umfang genau π.

Archimedes schließt den Kreis mit Vielecken ein. Der Umfang des inneren Vielecks ist kleiner, der des äußeren größer als der Kreisumfang (hier für den Durchmesser 1).

Umfänge der Vielecke bei Durchmesser 1, gerundet auf vier Nachkommastellen
Ecken	innen	außen
6	3,0000	3,4641
12	3,1058	3,2154
24	3,1326	3,1597
48	3,1394	3,1461
96	3,1410	3,1427

Aufgaben

Der Kreis hat den Durchmesser 1, also den Radius 0,5. Das Sechseck im Kreis besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken. Wie lang ist eine Seite des Sechsecks? Berechne seinen Umfang. Was folgt daraus für π?
Das Quadrat im Kreis hat als Diagonale den Durchmesser 1. Berechne seine Seite mit dem Satz des Pythagoras (Taschenrechner erlaubt) und dann seinen Umfang. Das Quadrat um den Kreis hat die Seitenlänge 1. Welche Grenzen für π ergeben sich aus den beiden Quadraten?
Berechne in der Tabelle für jede Zeile den Abstand zwischen dem äußeren und dem inneren Umfang. Was passiert mit dem Abstand, wenn die Eckenzahl verdoppelt wird? Wie viele Ecken brauchst du ungefähr, damit der Abstand kleiner als 0,0001 wird?
Archimedes rechnete mit Brüchen. Schreibe 223/71 und 22/7 als Dezimalzahlen mit vier Nachkommastellen und prüfe, ob π ≈ 3,1416 dazwischen liegt. Berechne dann den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser 14 cm mit 22/7 und mit 3,1416.
Beim 96-Eck gilt 3,1410 < π < 3,1427. Welche Nachkommastellen von π kannst du damit sicher angeben? Erkläre außerdem, warum Archimedes nicht behauptet hat „π = 22/7“, sondern „π < 22/7“.
Rechercheauftrag: Auch in anderen Ländern und Zeiten wollte man π kennen. Finde zwei Beispiele für frühe Näherungen (Land, Zeit, Wert) und schreibe auf, wie viele Stellen von π man heute kennt.

Lösungen

Der Mittelpunktswinkel jedes Dreiecks ist 360° : 6 = 60°. Zwei Seiten sind Radien, also gleich lang, und der Winkel dazwischen ist 60°. Daher sind alle drei Seiten 0,5 lang. Der Umfang des Sechsecks ist 6 · 0,5 = 3. Das Sechseck liegt im Kreis, sein Umfang ist kleiner als der Kreisumfang. Also gilt π > 3.
Mit dem Satz des Pythagoras: Für die Seite s gilt $s^{2} + s^{2} = 1^{2}$ , also $s^{2} = 0,5$ und $s \approx 0,7071$ . Der Umfang ist 4 · 0,7071 ≈ 2,83. Das äußere Quadrat hat den Umfang 4 · 1 = 4. Die Grenzen sind 2,83 < π < 4. Das ist noch sehr grob, die untere Grenze 3 vom Sechseck ist besser.
Abstände: 3,4641 − 3,0000 = 0,4641; 3,2154 − 3,1058 = 0,1096; 3,1597 − 3,1326 = 0,0271; 3,1461 − 3,1394 = 0,0067; 3,1427 − 3,1410 = 0,0017. Bei jeder Verdopplung wird der Abstand ungefähr durch 4 geteilt (0,0017 : 4 ≈ 0,0004, dann ≈ 0,0001, dann ≈ 0,00003). Bei 192 Ecken ist der Abstand etwa 0,0004, bei 384 Ecken etwa 0,0001 und noch nicht darunter, bei 768 Ecken etwa 0,00003. Man braucht also ungefähr 768 Ecken.
223/71 = 3,1408 und 22/7 = 3,1429 (gerundet). Es gilt 3,1408 < 3,1416 < 3,1429, also liegt π dazwischen. Kreis mit d = 14 cm: Mit 22/7 ist U = 14 · 22/7 = 44 cm. Mit 3,1416 ist U = 14 · 3,1416 ≈ 43,98 cm. Der Unterschied beträgt nur etwa 0,02 cm, das sind knapp 0,2 mm.
Sicher ablesbar ist 3,14, denn beide Grenzen beginnen mit 3,14. Die dritte Stelle ist nicht sicher: Zwischen 3,1410 und 3,1427 könnte sie 1 oder 2 sein. Erklärung (Erwartungshorizont): „π = 22/7“ wäre eine falsche Behauptung, denn 22/7 ist ein Bruch, der ein wenig größer ist als π. Die Aussage „π < 22/7“ ist dagegen wahr. Archimedes konnte π nicht genau angeben, aber er konnte beweisen, zwischen welchen Zahlen es liegt. So weiß man, wie groß der Fehler höchstens ist.
Erwartungshorizont, zum Beispiel: Ägypten, um 1550 v. Chr., Papyrus Rhind, Kreisfläche mit (8/9 · d)², das entspricht π ≈ 3,16. Babylon, etwa 1900 bis 1600 v. Chr., π ≈ 3,125. China, Liu Hui (3. Jahrhundert) und Zu Chongzhi (5. Jahrhundert), der Bruch 355/113 ≈ 3,1415929. Heute haben Computer mehr als 100 Billionen Nachkommastellen berechnet. Für praktische Rechnungen reichen schon wenige Stellen. Es gilt jede begründete Antwort mit Land, Zeit und Wert.

Hinweise für die Lehrkraft

Typische Schwierigkeiten: Durchmesser und Radius werden verwechselt (Durchmesser 1 heißt Radius 0,5). „Innen“ und „außen“ werden vertauscht. Bei der Umwandlung von 223/71 geht die Stellenwertschreibweise verloren. Tipp: Die Skizze zeichnen lassen und die Vielecke farbig ausmalen.
Leichter: Nur Aufgaben 1, 4 und 5, die Dezimalwerte der Brüche vorgeben, den Quotienten Umfang durch Durchmesser mit Schnur selbst messen lassen.
Schwerer: Die Seite des äußeren Sechsecks herleiten: Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist 0,5, daher ist die Seite $1 / \sqrt{3} \approx 0,5774$ und der Umfang etwa 3,4641. Die Rechnung für das 12-Eck mit dem Satz des Pythagoras nachvollziehen. Archimedes arbeitete mit Brüchen, etwa 265/153 < √3 < 1351/780. Die Tabellenwerte sind mit dem Computer gerundet, seine eigenen Schranken (3 10/71 und 3 1/7) rundete er so, dass sie sicher blieben.
Quellenlage: Archimedes beschreibt sein Verfahren in der „Kreismessung“. Um 250 v. Chr. ist die übliche Zeitangabe für seine π-Schranken. Zu den frühen Näherungen aus Ägypten und Babylon siehe auch Geschichte von π.
Weiterführung: Kreisfläche mit A = πr², Übungen bei den Kreisaufgaben, Rückblick auf den Satz des Pythagoras und die Wurzeln.

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