Arbeitsblatt · Klasse 5–10

Fermi-Aufgaben: Schätzen mit System

Wie viele Bälle passen ins Klassenzimmer, wie hoch wird ein Turm aus einer Million Cent-Münzen? Du zerlegst Schätzfragen in kleine Schritte, notierst deine Annahmen und rechnest mit gerundeten Zahlen.

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Erklärung: Mathematisch modellieren

Für die Lehrkraft: Steckbrief

  • Klassenstufe: 5 bis 10 (Teil A ab Klasse 5, Teil B ab Klasse 7, Teil C ab Klasse 9)
  • Zeitbedarf: 45 bis 90 Minuten, je nach Aufgabenauswahl
  • Lernziele: Eine Schätzfrage in schätzbare Teilfragen zerlegen, Annahmen offenlegen, mit gerundeten Zahlen und Zehnerpotenzen rechnen, das Ergebnis als Spanne und in der Größenordnung angeben, es auf Plausibilität prüfen und Modelle vergleichen.
  • Bezug zu den Bildungsstandards: mathematisch modellieren (Strukturieren und Vereinfachen, Interpretieren und Prüfen) und mathematisch kommunizieren. Jede Aufgabe trägt ihren Anforderungsbereich (AFB), der Schwerpunkt liegt im Bereich II.
  • Material: dieses Blatt, Stift, Lineal oder Maßband (Aufgaben 3 und 8), ein Taschenrechner nach Wunsch. Er ist nicht nötig, denn gerundete Zahlen lassen sich im Kopf rechnen.
  • Bezug zur Lernseite: Fermi-Aufgaben auf der Seite Mathematisch modellieren, historisches Beispiel bei Eratosthenes

Ablaufvorschlag

  1. Einstieg (5 Minuten): Die Klasse schreibt auf, wie viele Menschen in ihr Klassenzimmer passen, ohne nachzudenken. Danach folgt ein Gespräch über die Zahlen und darüber, wie man sie begründen könnte.
  2. Teil A (15 Minuten) in Partnerarbeit.
  3. Teil B (20 bis 30 Minuten): jede Gruppe wählt zwei Aufgaben. Die Annahmen werden an der Tafel gesammelt und verglichen.
  4. Teil C als Vertiefung oder Hausaufgabe. Aufgabe 13 eignet sich für eine Präsentation.

Was zählt: nachvollziehbare Teilschritte, offen genannte Annahmen, ein Ergebnis als Spanne oder in der Größenordnung und eine kurze Prüfung. Eine einzige richtige Zahl gibt es bei Fermi-Aufgaben nicht.

Teil A: Warm-up

Aufgabe: Rechne mit gerundeten Zahlen und schreibe deine Annahmen auf.

  1. Runde jede Zahl so, dass du im Kopf rechnen kannst. Gib das Ergebnis gerundet an: (a) 38 · 51, (b) 2,9 · 1.020, (c) 4.100 : 19. AFB I
  2. Schreibe die Zahlen mit Zehnerpotenzen. (a) 4.500.000, (b) 0,0002, (c) 12 Milliarden. AFB I
  3. Schätze, wie viele Schritte du für einen Kilometer brauchst. Miss die Länge deines Schritts auf zehn Schritten oder schätze sie. Wie viele Schritte läufst du dann auf einem Schulweg von 1,2 km? AFB II
  4. Schätze, wie lange du brauchst, um laut von 1 bis 1.000.000 zu zählen. Stoppe, wie lange du für 1 bis 20 brauchst, und überlege, ob große Zahlen länger dauern. Gib das Ergebnis in Tagen an, einmal ohne Pause und einmal bei 8 Stunden Zählen pro Tag. AFB II

Teil B: Klassiker

  1. Wie viele Blätter Papier braucht man für einen Stapel, der so hoch ist wie dein Schulgebäude? Ein Blatt Kopierpapier ist etwa 0,1 mm dick. Schätze die Höhe deiner Schule, zum Beispiel 12 m. Wie viele Pakete mit 500 Blatt wären das? AFB II
  2. Schätze, wie viele Fußbälle in ein leeres Klassenzimmer passen. Das Zimmer ist 8 m lang, 7 m breit und 3 m hoch, ein Fußball hat etwa 22 cm Durchmesser. Notiere deine Annahmen. AFB II
  3. Schätze, wie oft dein Herz in 80 Lebensjahren schlägt. In Ruhe schlägt es etwa 60 bis 80 Mal pro Minute (miss deinen Puls). Rechne mit einer Spanne und schreibe das Ergebnis mit einer Zehnerpotenz. AFB II
  4. Wie hoch wird ein Turm aus einer Million 1-Cent-Münzen? Schätze die Dicke einer Münze oder stapele zehn Münzen und miss. Vergleiche das Ergebnis mit dem Berliner Fernsehturm, der 368 m hoch ist. AFB II
  5. Wie viel Wasser geht verloren, wenn ein Wasserhahn einen Tag lang tropft? Nimm an, dass er einen Tropfen pro Sekunde abgibt und dass 20 Tropfen etwa 1 ml ergeben. Rechne auch auf ein Jahr hoch und vergleiche mit einer Badewanne (etwa 150 Liter). AFB II

Teil C: Knifflig

  1. Schätze, wie viele Fahrzeuge in einem 10 km langen Stau auf einer dreispurigen Autobahn stehen. Überlege, wie viel Platz ein Pkw mit Abstand und wie viel ein Lkw braucht, und rechne mit einer Spanne. AFB II
  2. Vergleiche die Schätzungen zweier Klassen zur Zahl der Fußbälle im Klassenzimmer von 8 m mal 7 m mal 3 m. Klasse 1 denkt sich um jeden Ball einen Würfel mit 22 cm Kantenlänge und kommt auf 15.800 Bälle. Klasse 2 rechnet mit dem Kugelvolumen und nimmt an, dass Kugeln in einem Behälter etwa 64 % des Volumens füllen. Sie kommt auf 19.300 Bälle. Erkläre, warum Klasse 2 mehr Bälle erhält, und beurteile, welches Modell besser ist und ob der Unterschied wichtig ist. AFB III
  3. Beurteile, wer besser geschätzt hat, wenn das wahre Ergebnis 20.000 beträgt, Anna aber 6.000 und Ben 60.000 geschätzt hat. Vergleiche die Abweichungen als Differenz und als Faktor. Erkläre, warum bei Fermi-Aufgaben der Faktor aussagekräftiger ist. AFB III
  4. Erfinde eine eigene Fermi-Aufgabe aus deinem Alltag und löse sie. Zerlege die Frage in mindestens drei Teilschritte, schreibe alle Annahmen auf und gib das Ergebnis als Spanne an. AFB III

Lösungen

Bei Fermi-Aufgaben sind die Lösungen Lösungswege mit einer plausiblen Spanne. Abweichende Annahmen sind in Ordnung, wenn sie genannt und begründet werden.

  1. (a) 40 · 50 = 2.000 (genau: 1.938). (b) 3 · 1.000 = 3.000 (genau: 2.958). (c) 4.000 : 20 = 200 (genau: etwa 216). Schon die Rundung auf eine Stelle trifft die Größenordnung sicher.
  2. (a) 4,5 · 106. (b) 2 · 10−4. (c) 12 Milliarden = 12 · 109 = 1,2 · 1010.
  3. Ein Schritt ist etwa 0,5 bis 0,7 m lang. Für einen Kilometer braucht man 1.000 : 0,65 ≈ 1.540 Schritte, die Spanne reicht von 1.430 (bei 0,7 m) bis 2.000 (bei 0,5 m). Auf 1,2 km sind es etwa 1,2 · 1.540 ≈ 1.850 Schritte, die Spanne reicht von 1.700 bis 2.400. Ergebnis: rund 2.000 Schritte.
  4. Kleine Zahlen sind schnell gesprochen, die meisten Zahlen bis zu einer Million haben aber sechs Stellen und brauchen beim Aussprechen etwa 3 bis 4 Sekunden. Bei 3 s je Zahl: 3.000.000 s : 86.400 s ≈ 35 Tage, bei 4 s etwa 46 Tage. Ohne Pause sind das etwa 5 bis 7 Wochen. Bei 8 Stunden (28.800 s) am Tag: 3.000.000 : 28.800 ≈ 104 Tage, bei 4 s etwa 139 Tage. Ergebnis: etwa 100 bis 140 Tage.
  5. 12 m = 12.000 mm. 12.000 : 0,1 = 120.000 Blatt. 120.000 : 500 = 240 Pakete. Bei einer Höhe von 10 m sind es 100.000 Blatt, bei 15 m 150.000. Ergebnis: etwa 100.000 bis 150.000 Blatt, mehr als 200 Pakete.
  6. Das Zimmer hat 8 · 7 · 3 = 168 m³. Würfelmodell: Jeder Ball bekommt einen Würfel mit 0,22 m Kantenlänge, also 0,22³ ≈ 0,0106 m³. Dann passen 168 : 0,0106 ≈ 15.800 Bälle. Schichtenmodell: In der Länge liegen 8 : 0,22 ≈ 36 Bälle, in der Breite 7 : 0,22 ≈ 31 und in der Höhe 3 : 0,22 ≈ 13. Das sind 36 · 31 · 13 = 14.508 Bälle. Ergebnis: etwa 15.000 Bälle, Größenordnung 10.000. Möbel sind nicht berücksichtigt, in einem eingerichteten Raum wären es weniger.
  7. Ein Jahr hat 365 · 24 · 60 = 525.600 Minuten. Bei 70 Schlägen pro Minute sind das etwa 36,8 Millionen Schläge im Jahr und in 80 Jahren 80 · 36,8 Millionen ≈ 2,9 · 109. Spanne: bei 60 Schlägen etwa 2,5 · 109, bei 80 Schlägen etwa 3,4 · 109. Ergebnis: rund 3 · 109, also etwa 3 Milliarden Herzschläge.
  8. 1.000.000 · 1,67 mm = 1.670.000 mm ≈ 1.670 m. Die Dicke einer 1-Cent-Münze beträgt etwa 1,67 mm. Mit einer geschätzten Dicke von 1,5 bis 2 mm ergeben sich 1,5 bis 2 km. Vergleich: 1.670 : 368 ≈ 4,5, der Turm wäre also etwa viermal bis fünfmal so hoch wie der Berliner Fernsehturm.
  9. Ein Tropfen pro Sekunde sind 86.400 Tropfen am Tag. 86.400 : 20 = 4.320 ml ≈ 4,3 Liter. Im Jahr sind es etwa 4,3 · 365 ≈ 1.580 Liter. Das entspricht etwa 10 Badewannen (1.580 : 150 ≈ 10,5). Ergebnis: rund 4 Liter am Tag, rund 1.500 Liter im Jahr.
  10. Annahme: Ein Pkw braucht mit Abstand etwa 6 m (4,5 m Länge plus 1,5 m Abstand), ein Lkw mit Abstand etwa 18 m. Wenn etwa jedes fünfte Fahrzeug ein Lkw ist, braucht ein Fahrzeug im Mittel 6 bis 8 m. Bei 7 m sind es 10.000 : 7 ≈ 1.430 Fahrzeuge pro Spur und etwa 4.300 auf drei Spuren. Bei 6 m sind es 5.000, bei 8 m 3.750. Ergebnis: etwa 4.000 bis 5.000 Fahrzeuge.
  11. Im Würfelmodell füllt ein Ball den Würfel nur zu π : 6 ≈ 0,52, also zu etwa 52 %. Klasse 2 nimmt an, dass Kugeln in einem Behälter etwa 64 % füllen. Das ergibt 0,64 : 0,52 ≈ 1,22 mal so viele Bälle: 15.800 · 1,22 ≈ 19.300. Das Kugelmodell kommt der Wirklichkeit näher, weil locker eingefüllte Kugeln tatsächlich etwa 64 % des Raums füllen. Der Unterschied von etwa 20 % ist für eine Fermi-Aufgabe unwichtig, denn beide Klassen kommen auf „etwa 15.000 bis 20.000“. Wichtiger wäre, dass Möbel Platz wegnehmen. Das einfache Modell reicht für eine Schätzung, das genauere erklärt aber, warum der Wert höher ausfallen kann.
  12. Die Differenzen betragen 14.000 (Anna) und 40.000 (Ben), danach hätte Anna besser geschätzt. Als Faktor liegt Anna mit 20.000 : 6.000 ≈ 3,3 zu niedrig, Ben mit 60.000 : 20.000 = 3 zu hoch. Nach dem Faktor liegen beide etwa gleich weit daneben, Ben knapp näher. Bei Fermi-Aufgaben zählt der Faktor, weil sich Fehler in den Annahmen multiplizieren und die Ergebnisse über viele Größenordnungen reichen. Ein Fehler um den Faktor 3 nach oben ist so groß wie einer um den Faktor 3 nach unten, auch wenn die Differenzen verschieden sind.
  13. Erwartungshorizont: eine nachvollziehbare Frage mit mindestens drei Teilschritten, genannten Annahmen und einer Spanne. Beispiel: Wie viel Wasser trinken alle Menschen deiner Schule an einem Schultag? Annahmen: 600 Personen, jede trinkt in der Schule 0,7 bis 1,5 Liter. Rechnung: 600 · 0,7 = 420 Liter und 600 · 1,5 = 900 Liter. Ergebnis: etwa 400 bis 900 Liter.

Hinweise für die Lehrkraft

  • Typische Schwierigkeiten: Viele Lernende wollen „die“ richtige Zahl wissen und schreiben „das weiß man nicht“. Tipp: Fragen Sie, was man wissen müsste, und lassen Sie die Annahmen raten. Andere rechnen mit vielen Nachkommastellen, obwohl die Annahmen nur grob stimmen. Einheiten werden vergessen, besonders beim Umrechnen von mm in m und von Sekunden in Tage.
  • Leichter: Aufgaben 1 bis 4 und 9, Zahlen vorgeben, in Partnerarbeit lösen.
  • Schwerer: Aufgaben 10 bis 13. Zusätzlich lassen sich die Ergebnisse mit einer Recherche vergleichen (Wie dick ist eine Münze wirklich? Wie viele Herzschläge nennt die Medizin?) und die Abweichung als Faktor angeben.
  • Quellenlage: Die Dicke einer 1-Cent-Münze (1,67 mm) und die Höhe des Berliner Fernsehturms (368 m) sind gängige Angaben und lassen sich leicht nachprüfen. Die Packungsdichte von etwa 64 % gilt für zufällig dicht gepackte Kugeln. Die Erzählung, dass Enrico Fermi 1945 beim Trinity-Test die Sprengkraft mit Papierschnipseln auf etwa 10 Kilotonnen schätzte, ist überliefert. Nach heutigen Angaben waren es rund 20.
  • Weiterführung: Mehr zum Modellieren bei Mathematisch modellieren, Zehnerpotenzen beim Abschnitt Umwandeln in wissenschaftliche Notation, Umrechnungen bei Größen und Einheiten. Ein berühmtes Messbeispiel aus der Antike steht im Arbeitsblatt Eratosthenes misst die Erde.

Arbeitsblatt von geschichtedermathematik.de/fermi-aufgaben/ · kostenlos für Unterricht und Lernen

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