Vollständige Induktion: Aufgaben mit Lösungen

Mit der vollständigen Induktion beweist du, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Hier übst du sie an Summenformeln. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt.

Das brauchst du

• Induktionsanfang: Rechne beide Seiten der Formel für n = 1 aus und vergleiche sie. Beide Seiten müssen den gleichen Wert haben.
• Induktionsvoraussetzung: Die Formel gilt für ein beliebiges, festes k.
• Induktionsschritt: Zeige, dass sie dann auch für k + 1 gilt. Bei einer Summe teilst du in die Summe bis k und den letzten Summanden, setzt für die Summe bis k die Voraussetzung ein und formst um, bis die rechte Seite für k + 1 dasteht.
• Typische Formeln: 1 + 2 + … + n = n(n + 1) : 2 und 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) : 6 und 1 + 3 + … + (2n − 1) = n².
• Kontrolle mit Zahlen: Setze n = 3 oder n = 4 ein. Wenn die Formel dort nicht stimmt, ist sie falsch.

Der Aufbau steht auf der Seite Vollständige Induktion beim Dominoprinzip, beim Aufbau des Beweises und bei den Summenformeln.