Teilungsproblem von Pascal und Fermat: Arbeitsblatt

Für die Lehrkraft: Steckbrief

Klassenstufe: 8 bis 10
Zeitbedarf: 45 bis 60 Minuten
Lernziele: Ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit einem Baumdiagramm beschreiben, Pfadregeln anwenden, Wahrscheinlichkeiten als gerechte Anteile deuten, zwei historische Lösungswege (Pascal und Fermat) vergleichen.
Material: dieses Blatt, Taschenrechner. Für den Einstieg eine Münze pro Gruppe.
Bezug zur Lernseite: Baumdiagramm und Pfadregeln, Geschichte bei Fermat und Pascal

Ablaufvorschlag

Einstieg (5 Minuten): Zwei Teams werfen eine Münze: Kopf gibt Team A einen Punkt, Zahl gibt Team B einen Punkt. Wer zuerst 3 Punkte hat, gewinnt. Die Klasse bricht bei 2 zu 1 ab. Frage: „Wie teilt man den Einsatz?“ Die Vorschläge der Klasse sammeln.
Geschichte und Baumdiagramm (10 Minuten): Text lesen, Baumdiagramm lesen, Pfade und Wahrscheinlichkeiten benennen.
Aufgaben 1 bis 4 (20 Minuten) in Partnerarbeit.
Aufgabe 5 als Vertiefung (Fermats Gedanke), Aufgabe 6 im Gespräch.

Wer bekommt den Einsatz?

Zwei Spieler sind gleich stark. Jeder legt 32 Goldmünzen auf den Tisch, zusammen sind es 64. Gespielt werden einzelne Runden, und jede Runde gewinnt jeder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von ½. Wer zuerst 3 Runden gewonnen hat, bekommt alle 64 Münzen. Nun muss das Spiel unterbrochen werden, zum Beispiel weil es dunkel wird. Es steht 2 zu 1 für Spieler A. Wie teilen die beiden die 64 Münzen gerecht?

Diese Frage heißt Teilungsproblem und ist sehr alt. Der Rechenmeister Luca Pacioli schlug 1494 vor, den Einsatz im Verhältnis der bereits gewonnenen Runden zu teilen. Das überzeugte viele nicht. 1654 stellte der Chevalier de Méré, ein Spieler mit Interesse an der Mathematik, die Frage dem Mathematiker Blaise Pascal. Pascal schrieb darüber mit Pierre de Fermat, der in Toulouse lebte. Die beiden trafen sich nie, aber ihre Briefe gelten als Anfang der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Ihre Einsicht war: Es kommt nicht darauf an, was schon geschehen ist, sondern darauf, was noch geschehen kann. Jeder Spieler soll den Teil des Einsatzes bekommen, der seiner Chance auf den Gesamtsieg entspricht. Diese Chancen lassen sich mit einem Baumdiagramm berechnen.

Das Baumdiagramm für den Stand 2 : 1 bei „wer zuerst 3 Runden gewinnt“. A gewinnt auf den Wegen ½ und ¼, zusammen mit ¾. B gewinnt nur auf dem Weg ¼.

Aufgaben

Pacioli teilt im Verhältnis der gewonnenen Runden. Wie viele der 64 Münzen bekommen A und B beim Stand 2 : 1? Runde auf zwei Nachkommastellen.
Lies am Baumdiagramm ab: Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A das Spiel beim Stand 2 : 1, mit welcher B? Schreibe die Pfadrechnung auf.
Teile die 64 Münzen nach den Gewinnchancen aus Aufgabe 2. Vergleiche mit dem Ergebnis von Aufgabe 1. Wer hätte nach Paciolis Vorschlag zu viel bekommen?
Das Spiel wird beim Stand 2 : 0 für A abgebrochen. Spieler B müsste noch drei Runden hintereinander gewinnen. Zeichne das Baumdiagramm, berechne die Chancen von A und B und teile die 64 Münzen.
Knifflig: Das Spiel wird beim Stand 1 : 0 für A abgebrochen. A braucht noch 2 Siege, B noch 3. Fermat dachte sich: Man spielt immer genau vier weitere Runden, auch wenn das Spiel früher entschieden wäre. Es gibt 16 gleich wahrscheinliche Ergebnisfolgen von vier Runden. In wie vielen davon gewinnt A mindestens zwei Runden? Teile damit die 64 Münzen.
Warum ist es gerecht, nach den Gewinnchancen zu teilen und nicht nach dem Spielstand? Finde ein Beispiel, in dem der Vorschlag von Pacioli ungerecht aussieht. Erfinde dann ein eigenes Teilungsproblem (zum Beispiel „wer zuerst 4 Runden gewinnt“) und löse es.

Lösungen

Die gewonnenen Runden stehen im Verhältnis 2 : 1, die 64 Münzen werden in 3 Teile geteilt. A bekommt $\frac{2}{3} \cdot 64 \approx 42,67$ Münzen, B bekommt $\frac{1}{3} \cdot 64 \approx 21,33$ Münzen.
A gewinnt entweder gleich die nächste Runde (Wahrscheinlichkeit ½), oder B gewinnt sie (½), es steht dann 2 : 2, und A gewinnt die Runde danach (½). Also $P (A) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ . B muss beide nächsten Runden gewinnen: $P (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . Probe: $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ .
A bekommt $\frac{3}{4} \cdot 64 = 48$ Münzen, B bekommt $\frac{1}{4} \cdot 64 = 16$ Münzen. Das Verhältnis ist 3 : 1 und nicht 2 : 1. Nach Pacioli bekäme B 21,33 Münzen, das sind 5,33 Münzen mehr als gerecht. Der Vorschlag benachteiligt also den Spieler, der vorn liegt.
B muss dreimal hintereinander gewinnen: $P (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ . Damit ist $P (A) = \frac{7}{8}$ . Die Verteilung: A bekommt $\frac{7}{8} \cdot 64 = 56$ Münzen, B bekommt $\frac{1}{8} \cdot 64 = 8$ Münzen. Das Baumdiagramm hat nur einen Pfad für B (dreimal Sieg von B), alle anderen Pfade führen zum Sieg von A.
Bei vier Runden gibt es $2^{4} = 16$ Folgen. A gewinnt das Spiel, wenn er in den vier Runden mindestens zwei Runden gewinnt. Genau zwei Siege: 6 Folgen, genau drei: 4 Folgen, vier Siege: 1 Folge. Zusammen 11 Folgen. B gewinnt in den übrigen 5 Folgen (A gewinnt keine oder nur eine Runde). Also $P (A) = \frac{11}{16}$ und $P (B) = \frac{5}{16}$ . A bekommt $\frac{11}{16} \cdot 64 = 44$ Münzen, B bekommt $\frac{5}{16} \cdot 64 = 20$ Münzen.
Erwartungshorizont: Der Spielstand zeigt nur die Vergangenheit. Wenn das Spiel weitergegangen wäre, entscheiden die Chancen für die restlichen Runden. Wer gerecht teilen will, muss also fragen, wie wahrscheinlich ein Sieg noch ist. Beispiel gegen Pacioli: Beim Stand 1 : 0 bekäme A alles, denn das Verhältnis ist 1 : 0, und B nichts. Dabei hat B noch eine Chance von $\frac{5}{16}$ auf den Sieg und bekommt gerecht 20 Münzen. Eigenes Problem, zum Beispiel: Wer zuerst 4 Runden gewinnt, Stand 3 : 2. A fehlt noch ein Sieg, B fehlen zwei. Das ist dasselbe Problem wie in Aufgabe 2: A bekommt $\frac{3}{4}$ , B bekommt $\frac{1}{4}$ des Einsatzes. Es gilt jede begründete Antwort.

Hinweise für die Lehrkraft

Typische Schwierigkeiten: Die Pfadregeln werden vermischt: Entlang eines Pfades wird multipliziert, die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade zum selben Ergebnis werden addiert. Die Wahrscheinlichkeit wird mit dem Verhältnis der Punkte verwechselt. Beim Stand 2 : 1 wird vergessen, dass nach 2 : 2 noch eine Entscheidungsrunde folgt. Bei Aufgabe 5 werden die Folgen unvollständig aufgezählt, hier hilft eine Tabelle oder ein Baumdiagramm mit vier Stufen.
Leichter: Nur Aufgaben 1 bis 3, das Baumdiagramm für Aufgabe 4 vorgeben.
Schwerer: Aufgabe 5 mit Binomialkoeffizienten: $(\binom{4}{2}) + (\binom{4}{3}) + (\binom{4}{4}) = 6 + 4 + 1 = 11$ . Spieler mit ungleicher Stärke untersuchen: Gewinnt A jede Runde mit der Wahrscheinlichkeit 0,6, dann ist beim Stand 2 : 1 die Gewinnchance von A $0,6 + 0,4 \cdot 0,6 = 0,84$ . Pascals rückwärts gerichtete Rechnung mit Erwartungswerten bei den Lernseiten nachvollziehen.
Quellenlage: Pacioli stellte das Problem 1494 in seinem Rechenbuch dar. Die Briefe von Pascal und Fermat stammen aus dem Jahr 1654, nicht alle sind erhalten. Das Beispiel mit 32 Pistolen pro Spieler nennt Pascal selbst, es ist eine Goldmünze. Das Blatt spricht einfach von Goldmünzen. Der erste gedruckte Lehrtext zur Wahrscheinlichkeitsrechnung stammt von Christiaan Huygens (1657).
Weiterführung: Mehr zum Briefwechsel bei Blaise Pascal, zu Pierre de Fermat, Übungen bei den Baumdiagramm-Aufgaben und den Wahrscheinlichkeitsaufgaben.

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