Satz des Pythagoras beweisen: Arbeitsblatt mit Lösungen

Für die Lehrkraft: Steckbrief

Klassenstufe: 8 bis 9
Zeitbedarf: 45 bis 60 Minuten
Lernziele: Den Satz des Pythagoras durch Flächenvergleich begründen, den Unterschied zwischen Messen und Beweisen verstehen, Zahlentripel mit der Umkehrung prüfen, eine Sachaufgabe in eine Gleichung übersetzen, historische Spuren des Satzes in Babylon und China kennenlernen.
Material: dieses Blatt, Taschenrechner, Lineal, Geodreieck, Karopapier und Schere für den Zerlegungsbeweis.
Bezug zur Lernseite: Beweis zum Anschauen, Geschichte bei Geschichte des Satzes

Ablaufvorschlag

Einstieg (5 Minuten): Die Klasse nennt den Satz und woher sie ihn kennt. Frage: „Woher weiß man, dass er für jedes rechtwinklige Dreieck gilt?“
Geschichte und Abbildung (10 Minuten): Text lesen, die beiden Quadrate in der Abbildung vergleichen. Wichtig: Beide Quadrate haben die Seite a + b und enthalten dieselben vier Dreiecke.
Aufgaben 1 bis 3 (20 Minuten), nach Möglichkeit mit ausgeschnittenen Dreiecken aus Karopapier.
Aufgaben 4 und 5 als Übung, Aufgabe 6 im Gespräch oder als Hausaufgabe.

Älter als Pythagoras

Der Satz des Pythagoras trägt den Namen eines griechischen Gelehrten, der vor etwa 2.500 Jahren lebte. Bekannt war der Zusammenhang aber schon viel früher. Auf babylonischen Tontafeln aus der Zeit um 1800 v. Chr. stehen Zahlen, die zu rechtwinkligen Dreiecken passen. Die Tafel Plimpton 322 enthält solche Zahlentripel. Wozu sie diente, ist unter Fachleuten umstritten.

In China heißt der Satz Gougu-Satz, nach den Namen der beiden Katheten. Er steht im alten Rechenbuch Zhoubi suanjing. Im 3. Jahrhundert n. Chr. fügte Zhao Shuang eine Figur aus vier Dreiecken hinzu, die den Satz zeigt.

Wir benutzen einen Beweis in diesem Geist. Man nimmt vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c. Man legt sie auf zwei Arten in ein Quadrat der Seitenlänge a + b. Das linke Quadrat und das rechte Quadrat sind gleich groß. Was nach dem Auslegen frei bleibt, hat in beiden Fällen dieselbe Fläche.

Zwei Anordnungen derselben vier Dreiecke im Quadrat der Seite a + b. Links bleibt die Fläche a² + b² frei, rechts die Fläche c². Beide Flächen müssen gleich groß sein. Hier ist a = 3 und b = 4.

Aufgaben

Zeichne auf Karopapier ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm. Miss die Hypotenuse. Berechne dann $a^{2}$ , $b^{2}$ und $c^{2}$ und vergleiche.
Die Abbildung hat die Maße a = 3 cm und b = 4 cm. Berechne die Fläche eines großen Quadrats, die Fläche der vier Dreiecke und die Fläche, die jeweils frei bleibt. Vergleiche die beiden freien Flächen mit $a^{2} + b^{2}$ und mit $c^{2}$ .
Jetzt für beliebige Seiten a, b und c: Beide Quadrate haben dieselbe Fläche und enthalten dieselben vier Dreiecke. Begründe damit, dass $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ gilt.
Prüfe mit der Umkehrung des Satzes, welche Zahlentripel zu einem rechtwinkligen Dreieck gehören: (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 18) und (119, 120, 169). Das letzte steht auf der Tafel Plimpton 322.
Knifflig: Ein Bambusrohr ist 10 Chi hoch (Chi ist eine alte chinesische Längeneinheit). Es knickt ab, sodass die Spitze 3 Chi vom Fuß entfernt den Boden berührt. In welcher Höhe knickt es? Setze die Höhe des Knicks gleich x und stelle eine Gleichung auf. Eine Aufgabe dieser Art steht in einem chinesischen Rechenbuch.
Warum reicht es nicht, den Satz an vielen Dreiecken durch Messen zu prüfen? Was leistet der Zerlegungsbeweis mehr? Recherchiere dazu, wer außer Pythagoras einen eigenen Beweis des Satzes gefunden hat.

Lösungen

Die Hypotenuse misst 5 cm (im Rahmen der Messgenauigkeit). Es gilt $a^{2} = 9$ , $b^{2} = 16$ und $c^{2} = 25$ (jeweils in cm²). Die Summe $9 + 16 = 25$ stimmt mit $c^{2}$ überein.
Großes Quadrat: Seite 3 + 4 = 7 cm, Fläche 49 cm². Ein Dreieck hat die Fläche ½ · 3 · 4 = 6 cm², vier Dreiecke haben 24 cm². Frei bleiben 49 − 24 = 25 cm². Links sind das die zwei Quadrate mit $a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 25$ , rechts das schräge Quadrat mit $c^{2} = 25$ . In beiden Fällen sind es 25 cm².
Erwartungshorizont: Beide großen Quadrate haben die Seite a + b und damit dieselbe Fläche. In beiden liegen dieselben vier Dreiecke. Nimmt man die vier Dreiecke weg, müssen die übrigen Flächen gleich groß sein. Links bleiben $a^{2} + b^{2}$ , rechts bleibt $c^{2}$ . Also gilt $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Die Rechnung hängt nicht von den Zahlen 3 und 4 ab, daher gilt sie für jedes rechtwinklige Dreieck.
(5, 12, 13): $25 + 144 = 169 = 13^{2}$ , rechtwinklig. (7, 24, 25): $49 + 576 = 625 = 25^{2}$ , rechtwinklig. (8, 15, 18): $64 + 225 = 289$ , aber $18^{2} = 324$ , nicht rechtwinklig. (119, 120, 169): $14.161 + 14.400 = 28.561 = 169^{2}$ , rechtwinklig.
Der Bambus teilt sich in den stehenden Teil x und den abgeknickten Teil 10 − x. Der abgeknickte Teil ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten x und 3. Es gilt $x^{2} + 3^{2} = (10 - x)^{2}$ , also $x^{2} + 9 = 100 - 20 x + x^{2}$ . Daraus folgt $20 x = 91$ und $x = 4,55$ . Das Rohr knickt in 4,55 Chi Höhe, der abgeknickte Teil ist 5,45 Chi lang. Probe: ${4,55}^{2} + 9 = 29,7025 = {5,45}^{2}$ .
Erwartungshorizont: Beim Messen prüft man nur einzelne Dreiecke, und jede Messung hat Fehler. Ein Satz kann für viele Beispiele stimmen und trotzdem nicht allgemein gelten. Der Zerlegungsbeweis kommt ohne Zahlen aus, die Seiten a und b sind beliebig, also gilt der Satz für alle rechtwinkligen Dreiecke. Zur Recherche: Es gibt hunderte Beweise. Der Mathematiklehrer Elisha Scott Loomis sammelte rund 370. Auch James Garfield, der spätere Präsident der USA, veröffentlichte 1876 einen eigenen Beweis. Viele Beweise sind Zerlegungsbeweise wie hier, andere rechnen mit Algebra oder mit ähnlichen Dreiecken.

Hinweise für die Lehrkraft

Typische Schwierigkeiten: Aus $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ wird fälschlich $c = a + b$ . Die Hypotenuse wird nicht als längste Seite erkannt. Bei Aufgabe 5 wird der abgeknickte Teil mit x statt mit 10 − x bezeichnet. Beim Beweis wird nicht gesehen, dass beide Quadrate gleich groß sind. Tipp: Die Dreiecke ausschneiden und beide Anordnungen wirklich legen lassen.
Leichter: Nur Aufgaben 1 bis 4, die Dreiecke vorgefertigt austeilen.
Schwerer: Den Beweis algebraisch führen: $(a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{a b}{2} + c^{2}$ , ausmultipliziert $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 a b + c^{2}$ . Den Beweis des Präsidenten Garfield (Trapez aus zwei Dreiecken und einem halben Quadrat) nachvollziehen. Weitere Tripel mit der Euklid-Formel erzeugen.
Quellenlage: Die Datierung der Tafel Plimpton 322 und ihr Zweck sind umstritten. Im Blatt steht sie nur als Beispiel für Zahlentripel. Beweise vor den Griechen sind nicht überliefert, der Satz selbst ist aber früh bekannt. Zhao Shuang lebte im 3. Jahrhundert n. Chr.
Weiterführung: Übungen bei den Pythagoras-Aufgaben, Hintergründe zur chinesischen und babylonischen Mathematik, Zahlentripel bei pythagoreische Zahlentripel, Beweisen allgemein bei den Beweisverfahren.

Arbeitsblatt von geschichtedermathematik.de/geschichte-pythagoras-beweis/ · kostenlos für Unterricht und Lernen

Für die Lehrkraft: Steckbrief

Ablaufvorschlag

Älter als Pythagoras

Aufgaben

Lösungen

Hinweise für die Lehrkraft

Weiterlesen

Satz des Pythagoras

Pythagoras von Samos

Chinesische Mathematik

Sumerische und babylonische Mathematik

Satz des Pythagoras üben

Beweisverfahren