Divergenz, Rotation und Integralsätze: Aufgaben mit Lösungen

Hier rechnest du mit Vektorfeldern in der Ebene und im Raum. Bei Ergebnissen mit π suchst du den Faktor vor π. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt.

Das brauchst du

• Divergenz: div F = ∂_xF₁ + ∂_yF₂ + ∂_zF₃, ein Skalarfeld. Danach den Punkt einsetzen.
• Rotation: Die x-Komponente ist ∂_yF₃ − ∂_zF₂, die y-Komponente ∂_zF₁ − ∂_xF₃, die z-Komponente ∂_xF₂ − ∂_yF₁.
• Gradientenfeld: Das Integral ist φ(Ende) − φ(Anfang). Das Potential φ findest du, indem du F₁ nach x integrierst und den Rest durch F₂ bestimmst.
• Kurve: ∫ F · dx = ∫ F(γ(t)) · γ′(t) dt. Bei einer Strecke ist γ(t) = t · (a, b) mit t von 0 bis 1.
• Green: ∮ F · dx = ∬ (∂_xF₂ − ∂_yF₁) dA, der Rand wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.
• Gauß: Fluss durch die Oberfläche = ∭ div F dV.

Alles steht auf der Seite Vektoranalysis bei Divergenz und Rotation, dem Satz von Green, dem Satz von Gauß und der Seite Kurvenintegrale.