Prähistorische Mathematik

Prähistorische Mathematik umfasst alle mathematischen Spuren aus der Zeit vor der Erfindung der Schrift, grob von etwa 40.000 bis 3000 v. Chr. Aus dieser Epoche gibt es keine Rechenregeln, Lehrbücher oder Beweise, sondern nur Gegenstände: Knochen mit Reihen von Kerben, geometrisch verzierte Gefäße, kleine Zählsteine aus Ton und Bauwerke, die nach dem Lauf der Sonne ausgerichtet sind. Sie zeigen, dass Menschen Mengen festhielten, Muster ordneten und den Himmel beobachteten, lange bevor jemand eine Zahl aufschreiben konnte.

Mathematik im heutigen Sinn, also mit allgemeinen Verfahren, Begriffen und Begründungen, war das noch nicht. Doch hier liegen ihre Wurzeln: die Fähigkeit, zwei Antilopen und zwei Tage als „gleich viele“ zu erkennen und schließlich die Zahl Zwei als eigenen Gedanken zu fassen, losgelöst von den gezählten Dingen. Dieser Schritt vom Konkreten zum Abstrakten hat vermutlich Zehntausende von Jahren gedauert.

Weil schriftliche Erklärungen fehlen, ist bei prähistorischen Funden Vorsicht geboten. Ob eine Kerbreihe eine Strichliste, ein Mondkalender oder bloß Verzierung ist, lässt sich oft nicht entscheiden. Dieser Artikel stellt die wichtigsten Zeugnisse vor und trennt dabei sorgfältig zwischen Befund und Deutung.

Zahlensinn: die biologischen Wurzeln des Zählens

Ein Gespür für Mengen ist älter als der Mensch. Versuche zeigen, dass Krähen, Bienen oder Affen kleine Anzahlen unterscheiden können, und schon Säuglinge reagieren überrascht, wenn hinter einem Sichtschutz aus zwei Puppen plötzlich drei werden. Bis zu etwa vier Gegenstände erfasst der Mensch auf einen Blick, ohne zu zählen; die Psychologie nennt das Subitizing (von lateinisch subitus, „plötzlich“). Größere Mengen schätzen wir nur ungefähr.

Exaktes Zählen über diese Grenze hinaus ist dagegen eine kulturelle Erfindung, die Sprache und Übung braucht. Das belegen Studien bei Völkern im Amazonasgebiet. Die Pirahã verwenden Wörter, die eher „wenig“, „etwas mehr“ und „viele“ bedeuten als feste Zahlen; in Experimenten des Psychologen Peter Gordon (2004) konnten sie Mengen nur bis etwa drei zuverlässig genau nachlegen. Die Munduruku besitzen Zahlwörter bis ungefähr fünf. Sie schätzen und vergleichen große Mengen sicher, rechnen aber nicht exakt mit größeren Zahlen. Mit Intelligenz hat das nichts zu tun: Wer als Jäger und Sammler ohne Handel, Vorräte und Abgaben lebt, braucht schlicht kein ausgebautes Zahlensystem.

Für die Vorgeschichte bedeutet das: Das Zählen entwickelte sich mit den Aufgaben, die eine Gemeinschaft lösen musste. Je mehr Dinge, Tage und Tiere verwaltet werden wollten, desto wichtiger wurden Zahlwörter, Zählhilfen und schließlich Zahlzeichen.

Zählen mit Fingern, Körper und Sprache

Das naheliegendste Zählwerkzeug trägt jeder Mensch bei sich: die Hände. Dass die meisten Zahlensysteme der Welt die Basis 10 haben, geht sehr wahrscheinlich auf die zehn Finger zurück. Auch die Basis 5 (eine Hand) und die Basis 20 (Finger und Zehen) sind weit verbreitet. Die Maya rechneten zur Basis 20, und im Französischen erinnert quatre-vingts („vier Zwanziger“) für 80 noch an ein altes Zwanzigersystem.

Manche Kulturen zählen über die Finger hinaus am ganzen Körper. Die Oksapmin in Papua-Neuguinea benennen Zahlen nach einer festen Folge von Körperstellen: vom Daumen der einen Hand über Handgelenk, Arm, Schulter, Ohr und Auge bis hinunter zum kleinen Finger der anderen Hand, insgesamt 27 Positionen. Solche Systeme zeigen, wie eng Zählen und Körper ursprünglich verbunden waren. Eine Zahl ist hier zunächst ein Ort, auf den man zeigt.

Auch die Sprache bewahrt Spuren früher Zählweisen. Die deutschen Wörter „elf“ und „zwölf“ gehen auf germanische Formen zurück, die vermutlich „eins übrig“ und „zwei übrig“ bedeuteten, also eins beziehungsweise zwei über die zehn Finger hinaus. Erst ab dreizehn setzt sich das regelmäßige Muster „drei und zehn“ durch. Wie unser heutiger Zahlbegriff aufgebaut ist, erklärt die Lernseite Zahlen und ihre Eigenschaften.

Kerbknochen: die ältesten Zählzeichen

Fingerzählen hinterlässt keine Spuren. Wer aber eine Anzahl festhalten wollte (erlegte Tiere, vergangene Tage, geschuldete Gaben), konnte für jedes Ding eine Kerbe in Holz oder Knochen schneiden. Diese Eins-zu-eins-Zuordnung ist die einfachste Form des Zählens: Man braucht keine Zahlwörter, um zu prüfen, ob zu jeder Kerbe genau ein Gegenstand gehört. Holz ist längst vergangen, Knochen dagegen sind in einigen Fällen erhalten geblieben.

Der Lebombo-Knochen (rund 44.000 Jahre)

Als eines der ältesten bekannten Zählobjekte gilt der Lebombo-Knochen. Der Archäologe Peter Beaumont fand ihn in der Border Cave in den Lebombo-Bergen an der Grenze zwischen Südafrika und Eswatini. Es handelt sich um das Wadenbein eines Pavians mit 29 deutlich eingeschnittenen Kerben. Eine Untersuchung um Francesco d’Errico datierte die Fundschicht 2012 mithilfe zahlreicher Radiokarbonmessungen auf etwa 43.000 bis 44.000 Jahre vor heute; ältere Angaben nannten rund 37.000 Jahre.

Die Zahl 29 hat Spekulationen beflügelt, denn ein Mondmonat dauert rund 29,5 Tage. Ob der Knochen tatsächlich als Mondkalender diente, lässt sich jedoch nicht belegen, zumal er an einem Ende abgebrochen ist und ursprünglich mehr Kerben getragen haben kann. Die Form der Einschnitte verrät immerhin, dass sie mit unterschiedlichen Schneiden angebracht wurden, vielleicht nach und nach. Das passt zu einem Gegenstand, auf dem über längere Zeit etwas vermerkt wurde. Die Forschungsgruppe um d’Errico sieht in den Kerbknochen der Border Cave deshalb eine frühe Form der Notation.

Der Wolfsknochen von Dolní Věstonice (rund 30.000 Jahre)

In Mähren, im heutigen Tschechien, kam 1937 bei Grabungen unter der Leitung von Karel Absolon in Dolní Věstonice die Speiche eines Wolfs mit 55 Kerben zutage. Sie ist etwa 30.000 Jahre alt. Auffällig ist die Anordnung: Die Kerben stehen in Gruppen zu fünf, und nach den ersten 25 hebt eine längere Kerbe eine Art Zwischensumme hervor. Ob hier tatsächlich in Fünferschritten gezählt wurde, bleibt Deutung. Die Gruppierung erinnert aber stark an die Strichlisten, die bis heute in Fünferbündeln geführt werden.

Der Ishango-Knochen (rund 20.000 Jahre)

Der berühmteste Kerbknochen stammt aus Zentralafrika. Der belgische Forscher Jean de Heinzelin de Braucourt fand ihn 1950 in Ishango am Ufer des Eduardsees, im damaligen Belgisch-Kongo, der heutigen Demokratischen Republik Kongo. Der etwa zehn Zentimeter lange, dunkelbraune Knochen (vermutlich ebenfalls das Wadenbein eines Pavians) trägt an einem Ende ein eingesetztes Stück Quarz und diente wohl auch als Werkzeug, etwa zum Ritzen. Zunächst hielt man ihn für deutlich jünger, heute wird er auf rund 20.000 Jahre datiert. Er wird im Königlichen Belgischen Institut für Naturwissenschaften in Brüssel aufbewahrt.

Seine Kerben sind in drei Reihen entlang des Knochens angeordnet und innerhalb jeder Reihe zu Gruppen gebündelt. Gerade diese Gruppierung macht ihn so interessant:

Die Zählung ist nicht in jedem Punkt sicher; eine Gruppe in Reihe C wird teils als 9 statt 10 gelesen. Entsprechend vielfältig sind die Deutungen. De Heinzelin vermutete ein „arithmetisches Spiel“ auf Grundlage eines Zehnersystems. Der US-amerikanische Forscher Alexander Marshack las die Kerben dagegen als Mondkalender über etwa sechs Monate. Der Mathematiker Dirk Huylebrouck und der Physiker Vladimir Pletser schlugen schließlich ein Zählwerkzeug mit Zwölferbündelung und Untereinheiten von 3 und 4 vor. Belegen lässt sich keine dieser Hypothesen.

Geometrische Muster: Ordnung vor der Zahl

Neben dem Zählen gehört das Erkennen von Formen und Symmetrien zu den Wurzeln der Mathematik. Die ältesten bekannten abstrakten Ritzungen sind erstaunlich alt. Auf einer Muschelschale von Trinil auf Java, die ein Homo erectus vor etwa 430.000 bis 540.000 Jahren bearbeitete, findet sich ein Zickzackmuster. In der Blombos-Höhle in Südafrika ritzten moderne Menschen vor rund 75.000 Jahren ein Gittermuster aus sich kreuzenden Linien in einen Ockerbrocken.

In der Jungsteinzeit werden geometrische Verzierungen häufig und regelmäßig. Töpfer der Halaf-Kultur in Nordmesopotamien bemalten zwischen etwa 6200 und 5500 v. Chr. Schalen mit Blüten, deren Blätterzahl nach einer 2025 veröffentlichten Studie von Yosef Garfinkel und Sarah Krulwich fast immer 4, 8, 16, 32 oder 64 beträgt, eine Folge fortgesetzter Verdopplungen. Die Autoren sehen darin frühes mathematisches Denken, etwa beim gleichmäßigen Aufteilen von Flächen. Auch die Badari- und Naqada-Kultur im vordynastischen Ägypten (5. und 4. Jahrtausend v. Chr.) sowie die Megalithkulturen Westeuropas schmückten Gefäße und Steine mit Spiralen, Rauten, Dreiecken und Zickzackbändern.

Solche Muster verraten ein sicheres Gespür für Symmetrie, Wiederholung und Proportion. Sie sind aber in erster Linie Kunst und Handwerk, keine systematische Untersuchung geometrischer Eigenschaften. Wer gleichmäßig verteilte Blütenblätter malt, braucht dafür keine Theorie der Kreisteilung; praktische Erfahrung mit Halbieren, Falten und Abmessen genügt. Als Vorstufe der späteren Geometrie sind diese Arbeiten dennoch bedeutsam: Sie zeigen, dass Formen bewusst geplant, wiederholt und weitergegeben wurden.

Sesshaftigkeit, Vorräte und Zählsteine

Den entscheidenden Schub erhielt das Zählen durch die Neolithische Revolution. Ab etwa 9500 v. Chr. gingen Menschen im Fruchtbaren Halbmond, dem Bogen von der Levante über Südostanatolien bis zum Zagros-Gebirge, zu Ackerbau und Viehzucht über. Wer Getreide lagert, Saatgut zurückhält, Herden besitzt und Abgaben leistet, muss Mengen genau festhalten und über Monate hinweg nachprüfen können. Damit wuchs der Bedarf an verlässlichen Zählhilfen.

Im Vorderen Orient tauchen ab etwa 8000 v. Chr. kleine Tonobjekte in einfachen geometrischen Formen auf: Kegel, Kugeln, Scheiben und Zylinder. Die Archäologin Denise Schmandt-Besserat deutete sie in den 1970er-Jahren als Zählsteine (englisch tokens). Jede Form stand demnach für eine bestimmte Menge einer Ware, etwa ein Maß Getreide oder ein Schaf. Gezählt wurde, indem man so viele Zählsteine zusammenlegte, wie Einheiten vorhanden waren. Zahl und Ware waren also noch nicht voneinander getrennt.

Um 3500 v. Chr. begann man in Mesopotamien und im benachbarten Elam, Zählsteine in hohle, versiegelte Tonkugeln einzuschließen, sogenannte Bullae. Um den Inhalt prüfen zu können, ohne die Hülle zu zerbrechen, drückte man die Steine vorher außen in den feuchten Ton. Nach Schmandt-Besserats These erkannten die Verwalter bald, dass die Abdrücke allein genügten. Aus solchen Abdrücken auf flachen Tontafeln entwickelten sich um 3300 bis 3200 v. Chr. in Uruk die ersten Zahlzeichen und mit ihnen die Schrift.

In Einzelheiten ist diese These umstritten, etwa in der Frage, ob sich auch viele Bildzeichen der frühen Schrift aus Zählsteinen ableiten. Dass die frühesten Zahlzeichen aus eingedrückten Zählmarken hervorgingen, gilt dagegen als gut begründet. Bemerkenswert ist die Reihenfolge: Zahlen wurden geschrieben, bevor man Sätze schrieb. Wie es weiterging, erzählt der Artikel über die sumerische und babylonische Mathematik.

Megalithbauten und Himmelsbeobachtung

Kalender gehören zu den frühesten Anwendungen des Zählens. Wann kehrt der Vollmond zurück, wann werden die Tage wieder länger, wann muss gesät werden? Die Wiederkehr von Mondphasen und Jahreszeiten ließ sich beobachten, abzählen und in Bauwerken festhalten. Im jungsteinzeitlichen Europa entstanden dafür eindrucksvolle Anlagen.

Kreisgrabenanlagen und Ganggräber

Die Kreisgrabenanlage von Goseck in Sachsen-Anhalt, um 4900 v. Chr. angelegt, besaß Tore, durch die man von der Mitte aus Sonnenaufgang und Sonnenuntergang zur Wintersonnenwende sehen konnte. Noch präziser ist das Ganggrab von Newgrange in Irland, errichtet um 3100 v. Chr. Über seinem Eingang liegt eine Öffnung, durch die in den Tagen um die Wintersonnenwende das Licht der aufgehenden Sonne rund 17 Minuten lang durch den etwa 19 Meter langen Gang bis in die Grabkammer fällt. Eine solche Ausrichtung setzt jahrelange, sorgfältige Beobachtung des Sonnenlaufs voraus.

Im benachbarten Knowth sind die Randsteine der Grabhügel mit Spiralen, Bögen und Sichelformen verziert. Einen davon, den sogenannten Kalenderstein, deutete der Künstler und Forscher Martin Brennan in den 1980er-Jahren als Darstellung eines Mondkalenders. Andere Autoren wollen in wiederholten Zickzackmustern der irischen und britischen Felskunst sogar eine Zählnotation erkennen, die sich bis ins 1. Jahrtausend v. Chr. gehalten habe. Belegt ist keine dieser Deutungen: Ohne Schrift lässt sich nicht entscheiden, ob ein Muster etwas zählt oder schmückt. Dass die Zeichen an Grabstätten stehen, spricht eher für eine rituelle als für eine verwaltende Bedeutung.

Stonehenge: Sonnenwenden statt Gradeinteilung

Stonehenge in Südengland ist kein einzelnes Bauwerk, sondern das Ergebnis mehrerer Bauphasen über rund 1.500 Jahre. Um 3100 v. Chr. entstand ein kreisförmiger Graben mit Wall von etwa 110 Metern Durchmesser, an dessen Innenrand 56 Gruben liegen, nach ihrem Entdecker John Aubrey „Aubrey Holes“ genannt. Die großen Sarsensteine wurden erst um 2600 bis 2400 v. Chr. aufgestellt: ein Kreis aus 30 Pfeilern mit 30 Decksteinen, im Inneren fünf Trilithen in Hufeisenform. Die Hauptachse weist zum Sonnenaufgang zur Sommersonnenwende und in der Gegenrichtung zum Sonnenuntergang zur Wintersonnenwende.

Die Erbauer mussten also den Jahreslauf der Sonne genau beobachtet sowie Kreise und Abstände sorgfältig abgesteckt haben. Viel weitergehende Behauptungen haben sich dagegen nicht bestätigt.

In Mitteleuropa, wo die Schrift erst Jahrtausende später ankam, reicht die Vorgeschichte weit über das Jahr 3000 v. Chr. hinaus. Die Himmelsscheibe von Nebra, um 1600 v. Chr. in Sachsen-Anhalt vergraben, zeigt nach gängiger Deutung Sonne oder Vollmond, eine Mondsichel und das Siebengestirn (Plejaden). Sie ist ein Hinweis darauf, dass Himmelsbeobachtung auch in schriftlosen Kulturen weiter verfeinert wurde.

Kerbhölzer: eine Steinzeittechnik mit langem Nachleben

Die Idee der Kerbe hat die Steinzeit um Jahrtausende überdauert. Bis in die Neuzeit hielten Bauern, Händler und Wirte Schulden auf Kerbhölzern fest. Oft spaltete man den Stab nach dem Einkerben der Länge nach: Gläubiger und Schuldner erhielten je eine Hälfte, und nur zusammengelegt passten die Kerben exakt aufeinander. So war das Kerbholz früh gegen Fälschung geschützt. Die Redewendung „etwas auf dem Kerbholz haben“ erinnert bis heute daran.

Auch heute zählt man gelegentlich noch wie in der Steinzeit: Wer bei einer Verkehrszählung oder einer Klassensprecherwahl eine Strichliste führt, setzt vier Striche und streicht sie mit dem fünften durch. Das ist genau die Fünferbündelung des Wolfsknochens von Dolní Věstonice. Wie man solche Zählungen auswertet, zeigt die Lernseite Statistik.

Wichtige Persönlichkeiten: die Erforscher der Vorgeschichte

Aus der Vorgeschichte ist kein einziger Name überliefert; die „Mathematiker“ dieser Epoche bleiben anonym. Umso wichtiger sind die Forscherinnen und Forscher, die ihre Spuren entdeckt und gedeutet haben:

• Jean de Heinzelin de Braucourt, belgischer Geologe und Prähistoriker, fand 1950 den Ishango-Knochen und deutete ihn als Zeugnis eines frühen Zahlensystems.
• Peter Beaumont, südafrikanischer Archäologe, grub in der Border Cave und entdeckte den Lebombo-Knochen.
• Karel Absolon, tschechischer Archäologe, leitete die Grabungen in Dolní Věstonice, bei denen 1937 der Wolfsknochen gefunden wurde.
• Alexander Marshack, US-amerikanischer Forscher, deutete in den 1970er-Jahren zahlreiche Kerbknochen, darunter den Ishango-Knochen, als Mondkalender.
• Denise Schmandt-Besserat, französisch-amerikanische Archäologin, begründete die These, dass Zählsteine aus Ton zu den ersten Zahlzeichen und zur Schrift führten.
• Peter Gordon und Pierre Pica untersuchten 2004 mit ihren Teams das Zählen bei den Pirahã und den Munduruku.

Die ersten Menschen, die mit Namen als Verfasser oder Schreiber mathematischer Texte greifbar werden, lebten erst Jahrtausende später in Ägypten und Griechenland. Eine chronologische Übersicht bietet die Seite Wichtige Mathematiker.

Zeitleiste der prähistorischen Mathematik

1. vor ca. 540.000–430.000 Jahren Ein Homo erectus ritzt auf Java ein Zickzackmuster in eine Muschelschale (Trinil).
2. vor ca. 75.000 Jahren Gittermuster auf einem Ockerstück aus der Blombos-Höhle in Südafrika.
3. vor ca. 44.000 Jahren Lebombo-Knochen mit 29 Kerben aus der Border Cave (Südafrika/Eswatini).
4. vor ca. 30.000 Jahren Wolfsknochen von Dolní Věstonice mit 55 Kerben in Fünfergruppen.
5. vor ca. 20.000 Jahren Ishango-Knochen mit drei Reihen gruppierter Kerben (Kongo).
6. ab ca. 9500 v. Chr. Beginn von Ackerbau und Viehzucht im Fruchtbaren Halbmond.
7. ab ca. 8000 v. Chr. Zählsteine aus Ton im Vorderen Orient.
8. ca. 6200–5500 v. Chr. Halaf-Keramik mit Blütenmustern in Verdopplungsfolgen (4, 8, 16, 32, 64).
9. ca. 4900 v. Chr. Kreisgrabenanlage von Goseck mit Ausrichtung auf die Wintersonnenwende.
10. ca. 3500 v. Chr. Versiegelte Tonhüllen (Bullae) mit Zählsteinen in Mesopotamien und Elam.
11. ca. 3300–3200 v. Chr. Erste Zahlzeichen auf Tontafeln in Uruk; in Mesopotamien endet die Vorgeschichte.
12. ca. 3100 v. Chr. Bau von Newgrange in Irland; erste Bauphase von Stonehenge.

Erbe: vom Kerbholz zur Zahlschrift

Die prähistorische Epoche hinterließ der Mathematik keine Lehrsätze, wohl aber ihre Grundbausteine: die Eins-zu-eins-Zuordnung, das Bündeln von Einheiten zu Gruppen von fünf, zehn oder zwanzig, die Idee, eine Menge durch Zeichen darzustellen, und die Gewohnheit, wiederkehrende Ereignisse am Himmel abzuzählen. Auf diesen Grundlagen bauten die ersten Hochkulturen auf.

Zur eigentlichen Wissenschaft wurde die Mathematik dort, wo Städte, Tempel und Königshöfe große Mengen an Getreide, Arbeitskraft und Land verwalten mussten. In Mesopotamien wurden aus Zählsteinen Zahlzeichen und daraus schließlich das Sexagesimalsystem der Sumerer und Babylonier. In Ägypten entstand fast gleichzeitig ein hieroglyphisches Zehnersystem. Die Schreiber, die Felder vermaßen, Rationen berechneten und Steuern festsetzten, wurden zu den ersten Mathematikern, deren Arbeit wir lesen können.

Manche Grundideen wirken bis heute nach. Das Bündeln in Zehnergruppen führte über viele Zwischenstufen zum dezimalen Stellenwertsystem, das in der indischen Mathematik seine heutige Form mit der Null erhielt. Das Zwanzigersystem lebt in der Zählweise der Maya und in Resten europäischer Sprachen fort, und die Strichliste mit ihren Fünferbündeln ist ein direkter Nachfahre der steinzeitlichen Kerbe.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen, Campus, Frankfurt am Main/New York 1986.
• Denise Schmandt-Besserat: How Writing Came About, University of Texas Press, Austin 1996.
• Francesco d’Errico u. a.: „Early evidence of San material culture represented by organic artifacts from Border Cave, South Africa“, in: Proceedings of the National Academy of Sciences 109 (2012), S. 13214–13219, doi:10.1073/pnas.1204213109 (englisch).
• Peter Gordon: „Numerical Cognition Without Words: Evidence from Amazonia“, in: Science 306 (2004), S. 496–499 (englisch).
• Dirk Huylebrouck: Africa and Mathematics. From Colonial Findings Back to the Ishango Rods, Springer, Cham 2019 (englisch).
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.