Maryam Mirzakhani

Maryam Mirzakhani (1977–2017) war eine iranische Mathematikerin, die an der Stanford University lehrte. Am 13. August 2014 wurde sie auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Seoul als erste Frau und als erste Iranerin mit der Fields-Medaille ausgezeichnet, der höchsten Ehrung der Mathematik für Forschende unter 40 Jahren. Die Medaille wird seit 1936 vergeben, und bis 2014 hatte sie keine Frau erhalten. Mirzakhanis Gebiet war die Geometrie gekrümmter Flächen und die Frage, welche Formen solche Flächen überhaupt annehmen können.

Sie starb mit 40 Jahren an Brustkrebs. Ihr Geburtstag, der 12. Mai, wird seit 2019 als Internationaler Tag der Frauen in der Mathematik begangen.

Kindheit und Schule in Teheran

Maryam Mirzakhani wurde am 12. Mai 1977 in Teheran geboren. Sie besuchte die Farzanegan-Schule, eine staatliche Schule für besonders begabte Mädchen. Als Kind, so erzählte sie später, wollte sie vor allem Schriftstellerin werden und las viele Romane. Die Mathematik entdeckte sie nach eigener Aussage über ihren Bruder, der ihr von der Aufgabe erzählte, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Von dem jungen Carl Friedrich Gauß wird berichtet, dass er sie mit einem Kniff blitzschnell löste: Er bildete 50 Paare, die jeweils die Summe 101 ergeben, also 50 · 101 = 5.050.

Schon bald zeigte sich Mirzakhanis Talent. Sie gehörte zur iranischen Mannschaft bei der Internationalen Mathematik-Olympiade, einem Wettbewerb für Schülerinnen und Schüler aus aller Welt. 1994 in Hongkong gewann sie eine Goldmedaille, 1995 in Toronto erneut Gold mit der vollen Punktzahl von 42. Danach studierte sie an der Scharif-Universität für Technologie in Teheran, wo sie 1999 den Bachelor erwarb.

Harvard, Curtis McMullen und die Geometrie der Flächen

1999 ging sie an die Harvard-Universität in den USA. Ihr Doktorvater wurde Curtis McMullen, der selbst 1998 die Fields-Medaille erhalten hatte. 2004 promovierte sie mit der Arbeit Simple Geodesics on Hyperbolic Surfaces and Volume of the Moduli Space of Curves. Anschließend war sie Clay Research Fellow und Assistant Professor an der Princeton University, ab 2008 Professorin in Stanford.

Berichten zufolge arbeitete Mirzakhani am liebsten, indem sie auf großen Papierbögen zeichnete und kritzelte, oft auf dem Boden ausgebreitet. Ihre Tochter soll gesagt haben, die Mutter male. Tatsächlich skizzierte sie dabei Flächen und Kurven, die sich kaum anders darstellen lassen.

Hyperbolische Flächen und Modulräume

Eine Fläche wie eine Brezel mit g Löchern hat das Geschlecht g. Flächen mit mindestens zwei Löchern lassen sich so formen, dass sie überall wie ein Sattel gekrümmt sind. Man sagt, sie tragen eine hyperbolische Geometrie, wie sie Bolyai und Lobatschewski entdeckten und Henri Poincaré mit seiner Kreisscheibe veranschaulichte. Auf solch einer Fläche gibt es „gerade Linien“ im Sinne der Fläche, die Geodäten. Sie sind die kürzesten Verbindungen zwischen nahen Punkten, so wie ein gespannter Faden auf einem Globus. Eine geschlossene Geodäte ist eine solche Linie, die in sich zurückläuft. Der Gedanke, eine Fläche als eigenständigen Raum zu untersuchen, geht auf Bernhard Riemann zurück, nach dem die Riemannschen Flächen benannt sind.

Eine Fläche mit g Löchern kann viele verschiedene hyperbolische Formen annehmen. Sämtliche Formen bilden zusammen den Modulraum, eine Art Landkarte aller möglichen Gestalten. Für g = 2 braucht man sechs Zahlen, um eine Form festzulegen, allgemein 6g − 6.

Wie viele einfache Geodäten gibt es?

Eine Geodäte heißt einfach, wenn sie sich nie selbst kreuzt. Die Zahl aller geschlossenen Geodäten bis zur Länge L wächst etwa wie e^L / L, also rasend schnell (exponentiell). Mirzakhani bewies 2008, dass die einfachen deutlich seltener sind: Ihre Zahl wächst nur wie eine Potenz von L, nämlich wie L^{6g − 6} bei einer Fläche mit g Löchern, bei zwei Löchern also wie L⁶. Fast alle langen Wege kreuzen sich irgendwo selbst, kreuzungsfreie sind die Ausnahme.

Volumina von Modulräumen

Der zweite Baustein ihres Werks ist ein Weg, das „Volumen“ der Modulräume zu berechnen. Ausgangspunkt war eine Formel, die Greg McShane 1991 für einen Torus mit einem herausgenommenen Punkt gefunden hatte: Die Summe über alle einfachen geschlossenen Geodäten γ mit Länge ℓ(γ) ergibt stets den Wert ½.

Mirzakhani erweiterte diese Identität auf beliebige Flächen und nutzte sie, um die Volumina der Modulräume schrittweise aus denen kleinerer Flächen zu berechnen. Als Nebenprodukt lieferte sie 2007 einen neuen Beweis einer Vermutung des Physikers Edward Witten über Quantengravitation, die Maxim Kontsevich bereits bewiesen hatte.

Dynamik auf Modulräumen und der „Zauberstab-Satz“

Gemeinsam mit Alex Eskin und Amir Mohammadi untersuchte Mirzakhani, wie sich Flächen verhalten, wenn man sie fortlaufend streckt und schert. Dahinter steht ein anschauliches Problem: Eine Billardkugel läuft in einem Vieleck umher. Entfaltet man das Vieleck durch Spiegeln, entsteht eine Fläche mit Löchern, und die Kugel läuft darauf geradeaus. Das Strecken und Scheren der Flächen ist eine ferne Verwandte von Arnolds Katzenabbildung auf dem Torus. Das Ergebnis der drei, 2015 veröffentlicht, zeigt: Die Bahnen im Modulraum sind überraschend geordnet. Fachleute nennen den Satz von Eskin und Mirzakhani halb scherzhaft „Zauberstab-Satz“, weil er mit einem Schlag viele schwierige Fragen beantwortet.

Fields-Medaille 2014

Die Internationale Mathematische Union würdigte Mirzakhani für „herausragende Beiträge zur Dynamik und Geometrie Riemannscher Flächen und ihrer Modulräume“. Mit ihr erhielten 2014 Artur Avila, Manjul Bhargava und Martin Hairer die Fields-Medaille. Mirzakhani sagte, sie hoffe, die Auszeichnung ermutige junge Wissenschaftlerinnen und Mathematikerinnen. 2022 folgte mit Maryna Viazovska die zweite Frau.

Krankheit, Tod und Vermächtnis

Bei Mirzakhani wurde 2013 Brustkrebs festgestellt. Die Krankheit kehrte zurück und breitete sich aus. Sie starb am 14. Juli 2017 im Alter von 40 Jahren. Kolleginnen und Kollegen auf der ganzen Welt würdigten ihr Werk, und in Iran wurde ihr Tod breit beachtet.

Ihr Geburtstag wurde zum Symbol: Auf Anregung des Frauenkomitees der Iranischen Mathematischen Gesellschaft beschloss ein Treffen von Mathematikerinnen 2018 in Rio de Janeiro, den 12. Mai als Tag der Frauen in der Mathematik zu begehen. Seit 2019 finden dazu weltweit Veranstaltungen statt. Außerdem trägt seit 2020 ein Preis für Nachwuchsmathematikerinnen ihren Namen, der Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize.

Zeitleiste: Maryam Mirzakhanis Leben

1. 1977 Geburt am 12. Mai in Teheran
2. 1994 Goldmedaille bei der Mathematik-Olympiade in Hongkong
3. 1995 Goldmedaille mit voller Punktzahl in Toronto
4. 1999 Bachelor an der Scharif-Universität; Wechsel nach Harvard
5. 2004 Promotion bei Curtis McMullen; Princeton
6. 2008 Professorin in Stanford
7. 2013 Brustkrebs wird festgestellt
8. 2014 Fields-Medaille in Seoul (13. August)
9. 2017 Tod am 14. Juli

Bedeutung heute

Modulräume gehören zu den zentralen Objekten der heutigen Geometrie, der algebraischen Geometrie und der mathematischen Physik. Mirzakhanis Rekursionsformel für ihre Volumina wird bis heute weiterentwickelt, und ihre Sätze über Dynamik auf Modulräumen sind Grundlage eines lebendigen Forschungsfelds. Wer mehr über die Geometrie erfahren will, findet Grundlagen auf der Lernseite zur Geometrie. Die Einordnung in die Gegenwart bietet der Artikel zur Mathematik im 21. Jahrhundert.

Quellen und weiterführende Literatur

• Maryam Mirzakhani: Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces. In: Inventiones Mathematicae 167 (2007).
• Maryam Mirzakhani: Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces. In: Annals of Mathematics 168 (2008).
• Alex Eskin, Maryam Mirzakhani, Amir Mohammadi: Isolation, equidistribution, and orbit closures for the SL(2,R) action on moduli space. In: Annals of Mathematics 182 (2015).
• MacTutor History of Mathematics: Maryam Mirzakhani (englisch)
• Internationale Mathematische Union: May 12, Celebrating Women in Mathematics (englisch)