Arbeitsblatt · Klasse 6–8

Wie groß ist die Erde? Eratosthenes misst

Vor mehr als 2.200 Jahren berechnete Eratosthenes den Umfang der Erde mit einem Stab, einem Schatten und einem Winkel. Du rechnest nach und prüfst, wie sicher das Ergebnis war.

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Erklärung: Winkel

Für die Lehrkraft: Steckbrief

  • Klassenstufe: 6 bis 8
  • Zeitbedarf: 45 bis 60 Minuten
  • Lernziele: Winkel am Kreis und Anteile von 360 Grad, Zusammenhang zwischen Winkel und Bogenlänge (Dreisatz), Wechselwinkel an parallelen Strahlen, Umrechnen von Längeneinheiten, Prozentabweichung, kritischer Umgang mit unsicheren Daten.
  • Material: dieses Blatt, Taschenrechner, Lineal. Optional: ein Stab und ein Maßband für einen Versuch im Schulhof.
  • Bezug zur Lernseite: Winkel an parallelen Geraden, Hintergrund bei Eratosthenes

Die Aufgaben sind mit ihrem Anforderungsbereich gekennzeichnet (AFB I Reproduzieren, II Zusammenhänge herstellen, III Verallgemeinern und Reflektieren).

Ablaufvorschlag

  1. Einstieg (5 Minuten): Frage in die Klasse: „Wie könnte man den Umfang der Erde messen, ohne um sie herumzufahren?“
  2. Geschichte und Skizze (10 Minuten): Text lesen, die Bildidee klären. Wichtig: Die Sonnenstrahlen sind parallel, deshalb sind die beiden 7,2-Grad-Winkel gleich groß.
  3. Aufgaben 1 bis 4 (20 Minuten), Aufgabe 5 im Gespräch.
  4. Aufgabe 6 als Vertiefung oder Hausaufgabe, möglichst mit einem eigenen Schattenversuch.

Der Schatten und die Erde

Eratosthenes lebte vor etwa 2.250 Jahren in Alexandria in Ägypten. Er war der Leiter der berühmten Bibliothek der Stadt. Er hörte von einer Besonderheit: In der Stadt Syene, dem heutigen Assuan, steht die Sonne nach der Überlieferung zu Mittag am längsten Tag des Jahres senkrecht am Himmel. Ein Stab wirft dort dann keinen Schatten.

In Alexandria dagegen, weiter im Norden, wirft ein Stab zur selben Zeit einen kurzen Schatten. Eratosthenes maß den Winkel zwischen Stab und Sonnenstrahl. Er war so groß wie ein Fünfzigstel des Vollkreises, also 7,2 Grad. Die Entfernung zwischen Syene und Alexandria betrug nach der Überlieferung 5.000 Stadien. Das Stadion war damals ein Längenmaß.

Die Überlegung dahinter: Die Sonne ist so weit weg, dass ihre Strahlen fast parallel auf der Erde ankommen. Deshalb gibt es denselben Winkel von 7,2 Grad noch einmal am Erdmittelpunkt. Die Strecke von Syene nach Alexandria ist also ein Fünfzigstel des ganzen Erdumfangs. Seine eigene Schrift ist verloren. Wir kennen das Verfahren vor allem von dem Gelehrten Kleomedes, der es später erklärte.

Sonnenstrahlen 7,2° 7,2° Erdmittelpunkt Syene Alexandria 5.000 Stadien Der Winkel ist hier viel größer gezeichnet, als er ist.
Die Idee des Eratosthenes: Die Sonnenstrahlen sind parallel. Deshalb ist der Winkel zwischen Stab und Strahl in Alexandria genauso groß wie der Winkel am Erdmittelpunkt.

Aufgaben

  1. Der Winkel in Alexandria beträgt 7,2°. Wie oft passt er in den Vollkreis von 360°? Schreibe die Rechnung auf. AFB I
  2. Syene und Alexandria sind 5.000 Stadien voneinander entfernt. Wie viele Stadien lang ist der ganze Erdumfang? AFB I
  3. Wie lang war ein Stadion? Das weiß man nicht genau. Rechne den Erdumfang in Kilometer um, (a) mit 1 Stadion = 157,5 m und (b) mit 1 Stadion = 185 m. AFB II
  4. Der heutige Wert für den Erdumfang beträgt etwa 40.000 km. Um wie viele Kilometer und um wie viel Prozent weichen deine beiden Ergebnisse aus Aufgabe 3 davon ab? Runde auf eine Nachkommastelle. AFB II
  5. Das Ergebnis des Eratosthenes war nicht ganz sicher. Nenne drei Gründe, warum seine Messung ungenau sein musste. AFB III
  6. Knobelaufgabe: Zwei Schulen liegen 1.000 km voneinander entfernt, genau in Nord-Süd-Richtung. Beide messen zur selben Zeit den Schattenwinkel eines Stabs. (a) Welchen Unterschied der beiden Winkel erwartest du, wenn der Erdumfang 40.000 km beträgt? (b) Wie groß würde der Erdumfang ausfallen, wenn der gemessene Unterschied 1° kleiner wäre? (c) Und wenn er 1° größer wäre? AFB II

Lösungen

  1. 360° : 7,2° = 50. Der Winkel passt 50-mal in den Vollkreis.
  2. Der Erdumfang ist 50-mal so lang wie die Strecke von Syene nach Alexandria: 50 · 5.000 = 250.000 Stadien.
  3. (a) 250.000 · 157,5 m = 39.375.000 m = 39.375 km. (b) 250.000 · 185 m = 46.250.000 m = 46.250 km.
  4. (a) 40.000 km − 39.375 km = 625 km zu klein, das sind 625 : 40.000 ≈ 0,016, also etwa 1,6 %. (b) 46.250 km − 40.000 km = 6.250 km zu groß, das sind 6.250 : 40.000 ≈ 0,156, also etwa 15,6 %.
  5. Erwartungshorizont, drei von mehreren möglichen Gründen: Die Länge des Stadions ist unbekannt. Die Entfernung von 5.000 Stadien ist geschätzt oder gerundet. Syene liegt nicht genau auf demselben Längenkreis wie Alexandria, sondern etwa 3 Grad weiter östlich. Der Winkel wurde nur grob gemessen (ein Fünfzigstel ist eine runde Zahl). Die Erde ist keine perfekte Kugel. Syene liegt nicht genau auf dem Wendekreis.
  6. (a) 1.000 km sind der 40. Teil des Umfangs, also ist der Winkelunterschied 360° : 40 = 9°. (b) Bei 8° passt der Winkel 360° : 8° = 45-mal in den Vollkreis, der Umfang wäre 45 · 1.000 km = 45.000 km, also 12,5 % zu groß. (c) Bei 10° sind es 360° : 10° = 36 Teile, der Umfang wäre 36.000 km, also 10 % zu klein. Schon ein Fehler von 1° verfälscht das Ergebnis stark, weil der Winkelunterschied klein ist. Deshalb braucht man eine sehr genaue Winkelmessung oder weit auseinanderliegende Orte.

Hinweise für die Lehrkraft

  • Typische Schwierigkeiten: Stadien und Kilometer werden vermischt. Prozentabweichung wird auf den falschen Wert bezogen (Bezugswert ist der heutige Umfang von 40.000 km). Die Skizze ist nicht maßstäblich, 7,2° ist viel kleiner. Tipp: Die Lernenden zeichnen den Winkel selbst mit dem Geodreieck.
  • Leichter: Nur Aufgaben 1 bis 3, die Umrechnung vorgeben.
  • Schwerer: Radius mit U=2πr bestimmen (aus 39.375 km folgt etwa 6.267 km, der heutige mittlere Radius ist 6.371 km), die Fehlerrechnung aus Aufgabe 6 erweitern, die Rolle der Längenunterschiede (Syene liegt etwa 3° östlich von Alexandria) diskutieren.
  • Quellenlage: Die Stadienlänge ist unsicher. Häufig wird 157,5 m angenommen, andere Forscher vermuten das attische Stadion mit etwa 185 m. Überliefert sind 250.000 und 252.000 Stadien als Ergebnis des Eratosthenes. Der Wert 252.000 ergibt genau 700 Stadien pro Grad.
  • Weiterführung: Ein eigener Versuch mit einem Stab und dem Schatten zum höchsten Sonnenstand, möglichst gemeinsam mit einer Partnerschule im Norden oder Süden. Vertiefung bei Kreis (Umfang) und Kugel, Übungen bei den Winkelaufgaben.

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