Trigonometría

La trigonometría estudia la relación entre los ángulos y los lados de los triángulos. En un triángulo rectángulo, las tres razones trigonométricas de un ángulo agudo α son: el seno (sen α = cateto opuesto / hipotenusa), el coseno (cos α = cateto adyacente / hipotenusa) y la tangente (tan α, o tg α, = cateto opuesto / cateto adyacente). Con ellas se calculan lados y ángulos que no se pueden medir directamente, como la altura de un árbol.

La página explica las razones trigonométricas, la tabla de ángulos notables, cómo resolver triángulos rectángulos, la relación fundamental, el círculo unitario y los signos en cada cuadrante, el teorema del seno y el del coseno y los radianes, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Antes conviene conocer el teorema de Pitágoras y los ángulos. Para comprobar valores hay, en alemán, la calculadora de seno y coseno y la página Trigonometrie.

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, los lados se nombran con relación al ángulo α: la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, el cateto opuesto es el que está frente a α y el cateto adyacente es el que forma α con la hipotenusa. Las razones dependen solo del ángulo, no del tamaño del triángulo.

Ángulos notables

Los ángulos de 30°, 45° y 60° tienen razones exactas que conviene saber.

Un truco: sen 30° = cos 60° = 1/2, porque el seno de un ángulo es el coseno de su complementario (sen α = cos (90° − α)).

Resolver triángulos rectángulos

Resolver un triángulo es calcular todos sus lados y ángulos. Eliges la razón que relaciona el dato conocido y la incógnita.

La relación fundamental

Por el teorema de Pitágoras, cos² α + sen² α = 1 para cualquier ángulo, y tan α = sen α / cos α. Con ella se calcula un valor conociendo otro: si sen α = 0,6 y α es agudo, cos² α = 1 − 0,36 = 0,64, así que cos α = 0,8.

El círculo unitario

En una circunferencia de radio 1, el punto que corresponde al ángulo θ (medido desde el eje x positivo, en sentido contrario al de las manecillas o agujas del reloj) tiene coordenadas (cos θ, sen θ). Así se definen seno y coseno para ángulos mayores de 90°: son la coordenada y y la x de ese punto.

Con la simetría se obtienen más valores: sen 150° = sen 30° = 1/2 y cos 120° = −cos 60° = −1/2. En general, sen (180° − α) = sen α y cos (180° − α) = −cos α.

Radianes

Además de los grados, los ángulos se miden en radianes: 180° = π rad. Así 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4 y 30° = π/6. Para pasar de grados a radianes se multiplica por π/180: 135° = 135 · π/180 = 3π/4.

Teorema del seno

En cualquier triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: a / sen A = b / sen B = c / sen C. Sirve cuando se conocen un lado y dos ángulos, o dos lados y un ángulo opuesto.

Teorema del coseno

Generaliza el teorema de Pitágoras: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A. Sirve cuando se conocen dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados. Si A = 90°, cos A = 0 y queda a² = b² + c².

Errores frecuentes

• Calculadora en modo radianes al trabajar con grados.
• Confundir cateto opuesto y adyacente: dependen del ángulo elegido.
• Pensar que sen 2α = 2 sen α. No es así: sen 60° = 0,866, y 2 · sen 30° = 1.
• Usar la hipotenusa como cateto en la tangente.
• Olvidar el signo según el cuadrante.
• Aplicar el teorema del seno sin comprobar los ángulos opuestos a cada lado.

Ejercicios con soluciones

Preguntas frecuentes

Sigue aprendiendo

• Tema anterior: logaritmos.
• Siguiente tema: límites.
• Repaso: teorema de Pitágoras y ángulos.
• En alemán: Trigonometrie y calculadora de seno y coseno.