Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas incógnitas, y resolverlo es hallar los valores que cumplen todas las ecuaciones a la vez. Por ejemplo, el sistema x + y = 10 y x − y = 4 tiene como solución x = 7 e y = 3: 7 + 3 = 10 y 7 − 3 = 4. Los sistemas con dos ecuaciones lineales y dos incógnitas son el caso más habitual y se resuelven con cuatro métodos: sustitución, igualación, reducción y gráfico.

Esta página explica cada método con un ejemplo resuelto, qué tipos de sistemas hay según tengan una, ninguna o infinitas soluciones, cómo plantear problemas con sistemas y trae ejercicios con soluciones. Antes conviene dominar las ecuaciones de primer grado. Para comprobar resultados tienes la calculadora de sistemas de ecuaciones; en alemán, con más práctica: lineare Systeme.

Qué es un sistema de ecuaciones

Una ecuación con dos incógnitas, como x + y = 10, tiene infinitas soluciones (3 y 7, 5 y 5, 0 y 10…). Pero si exiges además que x − y = 4, solo queda una pareja que sirve para las dos: (7, 3). Se escribe con una llave: las dos ecuaciones juntas forman el sistema. Para comprobar una solución, la sustituyes en las dos ecuaciones.

Método de sustitución

1. Despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Sustituye esa expresión en la otra ecuación y resuelve la ecuación de una incógnita.
3. Calcula la otra incógnita con la expresión del paso 1.

Método de igualación

Despejas la misma incógnita en las dos ecuaciones y igualas las dos expresiones.

Método de reducción

Se multiplica cada ecuación por un número para que una incógnita tenga coeficientes opuestos, y se suman las ecuaciones: esa incógnita desaparece.

Método gráfico

Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta. Dibujas las dos rectas y la solución es el punto de corte. Es más visual, pero menos preciso cuando las coordenadas no son enteras.

Para dibujar una recta basta con dos puntos. Para x + y = 6: (0, 6) y (6, 0). Para x − y = 2: (0, −2) y (2, 0). Comprueba: 4 + 2 = 6 y 4 − 2 = 2.

Tipos de sistemas

Al resolver, si llegas a una igualdad siempre cierta (0 = 0), el sistema es indeterminado; si llegas a una falsa (0 = 3), es incompatible.

Problemas con sistemas de ecuaciones

Elige dos incógnitas, escribe una ecuación por cada condición, resuelve y comprueba.

Errores frecuentes

• Hallar solo una incógnita y olvidar la otra.
• Sustituir en la misma ecuación de la que se despejó: sale 0 = 0 y no avanzas. Hay que usar la otra.
• Errores de signo al restar ecuaciones: si restas, cambia el signo de todos los términos de la segunda.
• Multiplicar solo un término al preparar la reducción: hay que multiplicar toda la ecuación.
• No comprobar en las dos ecuaciones.
• Plantear mal las incógnitas y mezclar la cantidad y el precio.

Ejercicios con soluciones

Preguntas frecuentes

Sigue aprendiendo

• Tema anterior: ecuaciones.
• Siguiente tema: función lineal, donde las rectas de la solución gráfica tienen su propia ecuación.
• Calculadora: calculadora de sistemas de ecuaciones.
• En alemán: lineare Systeme.