Calculadora · Nivel 1
Calculadora de mcm y MCD con procedimiento
La calculadora halla el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) de cuantos números quieras. Muestra la descomposición en factores primos, el algoritmo de Euclides en una tabla y, si lo pides, los divisores de cada número.
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Cómo usar la calculadora de mcm y MCD
Escribe dos o más números enteros, separados por coma, punto y coma o espacio, por ejemplo 84, 126, 210. La calculadora da el MCD y el mcm y debajo muestra el procedimiento. En «Opciones avanzadas» eliges si quieres ver el algoritmo de Euclides, la identidad de Bézout y los divisores de cada número.
No admite el 0, porque no tiene un mcm útil (el único múltiplo de 0 es 0). Los números negativos se tratan por su valor absoluto.
Qué calcula
- El máximo común divisor (MCD) es el mayor número que divide a todos los números dados. Sirve, por ejemplo, para simplificar fracciones.
- El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor número que es múltiplo de todos. Sirve para hallar el denominador común al sumar fracciones.
La teoría, con los métodos de la lista de divisores y de los múltiplos, está en las páginas de mínimo común múltiplo y de máximo común divisor.
Con factores primos
Se descompone cada número en factores primos. El MCD es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. El mcm es el producto de todos los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
Si no hay factores primos comunes, el MCD es 1 y los números son primos entre sí. Con 17 y 31, ambos primos, el MCD es 1 y el mcm es simplemente 17 · 31 = 527.
El algoritmo de Euclides
Con dos números, la calculadora muestra también el algoritmo de Euclides: dividir el mayor entre el menor, quedarse con el resto y repetir hasta que el resto sea 0. El último divisor es el MCD. Con 126 y 84: 126 ÷ 84 da resto 42, y 84 ÷ 42 da resto 0. El MCD es 42.
La identidad de Bézout expresa el MCD como combinación de los dos números: 42 = −1 · 84 + 1 · 126. Se usa, por ejemplo, para hallar inversos en la aritmética modular.
Relación entre el MCD y el mcm
Para dos números a y b se cumple MCD · mcm = a · b. La calculadora lo comprueba al final: con 84 y 126 es 42 · 252 = 10 584 = 84 · 126. Esta relación sirve para calcular el mcm cuando ya sabes el MCD: mcm = a · b ÷ MCD.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el mcm de tres números?
Se calcula el mcm de los dos primeros y después el mcm de ese resultado con el tercero. La calculadora lo hace con la descomposición en factores primos de todos a la vez.
¿Qué pasa si un número es múltiplo del otro?
Entonces el MCD es el menor de los dos y el mcm es el mayor. Con 6 y 18, el MCD es 6 y el mcm es 18.
¿Hasta qué tamaño puedo calcular?
La descomposición en factores primos se hace para números de tamaño normal. Con números muy grandes la calculadora puede omitir esa parte y usar solo el algoritmo de Euclides.
¿Para qué sirve el mcm en las fracciones?
Para sumar o restar fracciones necesitas un denominador común. El mcm de los denominadores es el menor posible y deja los números más pequeños.
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