Calculadora · Nivel 3
Ecuaciones de segundo grado: calculadora con procedimiento
Escribe los coeficientes a, b y c y obtén las soluciones exactas, con la raíz simplificada y en decimales. La calculadora dibuja la parábola y da el discriminante, el vértice, la forma factorizada y las relaciones de Vieta.
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Cómo usar la calculadora
Escribe la ecuación en la forma general a·x² + b·x + c = 0 y rellena los tres coeficientes. Pueden ser enteros, decimales o fracciones (por ejemplo 1/2). El resultado y el procedimiento aparecen al momento. Si a es 0, la ecuación deja de ser de segundo grado y la calculadora la resuelve como una ecuación lineal.
En «Opciones avanzadas» eliges el método: la fórmula general, la fórmula con p y q (que exige dividir antes entre a para tener x² + px + q = 0) o completar el cuadrado. También puedes activar o no las soluciones complejas y elegir cuántos decimales quieres.
La fórmula general y el discriminante
Las soluciones de a·x² + b·x + c = 0 son:
La expresión bajo la raíz, Δ = b² − 4ac, es el discriminante. Dice cuántas soluciones reales hay:
- Si Δ > 0, hay dos soluciones reales distintas.
- Si Δ = 0, hay una solución doble.
- Si Δ < 0, no hay soluciones reales, y la parábola no corta al eje x.
La explicación completa, con ecuaciones incompletas y problemas, está en la página de ecuaciones de segundo grado.
Soluciones con raíces
Cuando la raíz no es exacta, la calculadora muestra el valor aproximado y también el valor exacto con la raíz simplificada. Para x² − 2 = 0, el discriminante es 8 y √8 = 2√2, así que x = ± √2 ≈ ±1,4142. Dejar la raíz sin aproximar es más preciso y suele ser lo que piden en los exámenes.
Completar el cuadrado
Este método transforma la ecuación en el cuadrado de un binomio. Con 2x² + 4x − 6 = 0, primero se divide entre 2 para llegar a x² + 2x − 3 = 0. Después se suma y se resta 1 para formar (x + 1)² − 1 − 3 = 0, de donde (x + 1)² = 4, x + 1 = ±2, y las soluciones son x = 1 y x = −3. La calculadora escribe cada uno de estos pasos.
Cuando no hay solución real
Con 2x² + 4x + 10 = 0, el discriminante es Δ = 16 − 80 = −64, que es negativo. La ecuación no tiene soluciones reales. Si dejas activada la opción de soluciones complejas, la calculadora añade x = −1 ± 2i. Esas soluciones pertenecen a los números complejos y se estudian en cursos posteriores.
Vértice, forma factorizada y Vieta
Además de las soluciones, la tabla de resultados incluye:
- el vértice de la parábola, que es su máximo si abre hacia abajo (a < 0) o su mínimo si abre hacia arriba (a > 0);
- la forma canónica a(x − h)² + k;
- la forma factorizada a(x − x₁)(x − x₂), cuando hay dos soluciones reales;
- la comprobación con las relaciones de Vieta: x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a.
Preguntas frecuentes
¿Qué hago si a es 0?
Entonces no es una ecuación de segundo grado. La calculadora trata b·x + c = 0 como una ecuación lineal y da x = −c/b. Si también b es 0, no queda ninguna incógnita: o no hay solución (c distinto de 0) o todo número es solución (c igual a 0).
¿Cuál es la diferencia entre la fórmula general y la fórmula con p y q?
Son la misma fórmula escrita de dos maneras. La fórmula con p y q se aplica a x² + px + q = 0, con a = 1: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Si a no es 1, antes hay que dividir toda la ecuación entre a.
¿Se pueden resolver ecuaciones incompletas?
Sí. Si b = 0 o c = 0, escribe un 0 en ese coeficiente. Por ejemplo, x² − 9 = 0 tiene b = 0 y da x = ±3, y x² − 5x = 0 tiene c = 0 y da x = 0 y x = 5.
¿Puedo escribir fracciones como coeficientes?
Sí. Escribe 1/2 o −3/4 y la calculadora trabaja con fracciones exactas, sin redondear hasta mostrar el resultado.
¿Cómo compruebo una solución?
Sustituye el valor en la ecuación. Con x = 3 en x² − 2x − 3: 9 − 6 − 3 = 0. También puedes usar las relaciones de Vieta que muestra la tabla.
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