Derivadas parciales: cálculo, gradiente y puntos críticos

Una función de varias variables asigna un valor a cada pareja (o terna) de números, como f(x, y) = x²y + 3y². Su derivada parcial respecto de una variable es la derivada de la función cuando solo esa variable cambia y las demás se mantienen constantes. Se escribe ∂f/∂x o f_x. Para f(x, y) = x²y + 3y², ∂f/∂x = 2xy (se deriva en x tratando y como una constante) y ∂f/∂y = x² + 6y.

La página, que corresponde al nivel universitario, explica qué son las funciones de varias variables, cómo se calculan las derivadas parciales, las derivadas de orden superior y las derivadas cruzadas, el gradiente, el plano tangente y los puntos críticos con su clasificación, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Hace falta dominar las derivadas y conviene conocer los vectores. Para seguir con más temas universitarios la página en alemán mehrdimensionale Analysis.

Funciones de varias variables

En muchos problemas una cantidad depende de varias variables: el volumen de un cilindro depende del radio y de la altura (V = π r² h), la temperatura en una placa depende de la posición (x, y). Una función de dos variables f(x, y) tiene como gráfica una superficie: a cada punto (x, y) del plano le corresponde una altura z = f(x, y). Si se fija una de las variables, por ejemplo y = 2, queda una función de una sola variable, f(x, 2), y su derivada es la derivada parcial.

Definición y notación

La derivada parcial de f respecto de x en el punto (a, b) se define como un límite:

∂f/∂x (a, b) = lim_h→0 (f(a + h, b) − f(a, b)) / h

Es la pendiente de la superficie en la dirección del eje x. Igualmente, ∂f/∂y (a, b) = lim_h→0 (f(a, b + h) − f(a, b)) / h. La notación varía: ∂f/∂x, f_x o D_xf son lo mismo.

Cómo calcular una derivada parcial

Se deriva respecto a la variable elegida con las reglas habituales y las otras variables se tratan como si fueran números.

Derivadas de orden superior

Las derivadas parciales se pueden volver a derivar. Para una función de dos variables hay cuatro derivadas de segundo orden: f_xx, f_yy y las cruzadas f_xy (derivar primero en x y luego en y) y f_yx. Si las derivadas segundas son continuas, el teorema de Schwarz dice que las cruzadas son iguales: f_xy = f_yx.

El gradiente

El gradiente de f es el vector formado por sus derivadas parciales: ∇f = (f_x, f_y). En cada punto, apunta en la dirección en que la función crece más rápido, y su módulo es la rapidez de ese crecimiento (mira componentes y módulo de un vector).

El plano tangente

Alrededor de un punto (a, b), una superficie suave se parece a su plano tangente: z = f(a, b) + f_x(a, b) · (x − a) + f_y(a, b) · (y − b). Es el equivalente de la recta tangente de las funciones de una variable.

Puntos críticos

Los máximos y mínimos de una función de dos variables están entre los puntos donde ∇f = 0, es decir, f_x = 0 y f_y = 0. Para clasificarlos se usa el determinante D = f_xx · f_yy − (f_xy)²:

Si D > 0 y f_xx > 0: mínimo local.
Si D > 0 y f_xx < 0: máximo local.
Si D < 0: punto de silla (ni máximo ni mínimo).
Si D = 0, el criterio no decide.

Errores frecuentes

Derivar las dos variables a la vez: en una derivada parcial, las demás son constantes.
Olvidar la constante que acompaña a la variable: la derivada parcial de 5x²y respecto de x es 10xy.
Escribir «derivada de una constante es 1»: es 0. Así, ∂(3y²)/∂x = 0.
Confundir f_xy con una derivada en dos variables a la vez: es derivar dos veces, una en cada variable.
Olvidar la regla de la cadena en e^xy o ln (x² + y²).
Declarar un mínimo solo con ∇f = 0: hay que clasificar el punto crítico, puede ser un punto de silla.

Ejercicios con soluciones

Ejercicio: derivadas parciales

Calcula f_x y f_y de f = 3x²y − y³.
Calcula f_x y f_y de f = x⁴ + xy².
Calcula f_x y f_y de f = e^2x+y.
Calcula f_x y f_y de f = ln (xy).
Calcula f_x y f_y de f = x / y.
Calcula f_x y f_y de f = x² + xy + y² en el punto (1, −1).
Calcula f_xx, f_yy y f_xy de f = x³y².
Calcula el gradiente de f = xy en (3, 4).
Halla y clasifica el punto crítico de f = x² + y² − 4x + 6y.
Halla el plano tangente a f = x² + y² en (1, 1).

Ver soluciones

f_x = 6xy y f_y = 3x² − 3y².
f_x = 4x³ + y² y f_y = 2xy.
f_x = 2e^2x+y y f_y = e^2x+y.
f_x = 1/x y f_y = 1/y (porque ln (xy) = ln x + ln y).
f_x = 1/y y f_y = −x / y².
f_x = 2x + y = 1 y f_y = x + 2y = −1.
f_xx = 6xy², f_yy = 2x³ y f_xy = 6x²y.
∇f = (y, x) = (4, 3).
f_x = 2x − 4 = 0 → x = 2 y f_y = 2y + 6 = 0 → y = −3. D = 2 · 2 − 0 = 4 > 0 y f_xx = 2 > 0: mínimo, con f(2, −3) = 4 + 9 − 8 − 18 = −13.
f(1, 1) = 2 y f_x = f_y = 2: z = 2 + 2(x − 1) + 2(y − 1) = 2x + 2y − 2.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una derivada parcial?

La derivada de una función de varias variables respecto de una de ellas, manteniendo constantes las demás. Mide el cambio de la función en la dirección de esa variable.

¿Cómo se calcula una derivada parcial?

Se deriva respecto de la variable elegida con las reglas habituales, tratando las otras como constantes. Mira los ejemplos.

¿Qué es el gradiente?

El vector formado por las derivadas parciales. Señala la dirección de máximo crecimiento de la función.

¿Qué dice el teorema de Schwarz?

Que, si las derivadas segundas son continuas, el orden de derivación no importa: f_xy = f_yx.

¿Cómo se hallan los máximos y mínimos de una función de dos variables?

Se buscan los puntos donde las dos derivadas parciales valen 0 y se clasifican con el determinante D = f_xx f_yy − f_xy². Está en la sección de puntos críticos.

¿Qué es el plano tangente?

El plano que mejor aproxima a la superficie alrededor de un punto: z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b).

Sigue aprendiendo

Tema anterior: matrices.
Este es el último tema del camino de aprendizaje. Para seguir con más temas universitarios (diferenciabilidad total y matriz jacobiana, regla de la cadena, matriz hessiana) tienes la página en alemán mehrdimensionale Analysis.
Repaso: derivadas, vectores y integrales.